小小三角板 考出大乾坤

我們在學習、研究2011年中考試題時，發現一個有趣的現象，那就是我們的命題專家在命題時，將學生的學習用具三角板和直尺作為命題時的素材，將它們或組合拼圖或進行平移旋轉，得出一個個圖形，再要求考生求解相關的量或判斷其形狀等.這些試題新穎別致，生動豐富，清新有趣，貼近考生生活，給考生一種親切感.讓考生在有趣中思考，在親切中答題，在輕松中得分.

用三角板作為命題的素材，一方面是因為對每名學生來說，它們是學生必備的常用的學習用具，另一方面，也是考查學生，雖然學生幾乎我們每天都離不開三角板，但我們對這些熟悉的老朋友是否真正了解，是否認識深刻，即在三角板中隱藏著角的度數、直角邊與斜邊之間的關系等.如果我們同學對它們熟視無睹，只是熟悉其外，只是表面認識，而不能深究其內，達到本質認識，則解答這些試題也會困難重重；反之，如果我們的同學熟悉三角板中邊、角關系，那么我們的同學就可以輕松地解答相關的考題.

其實，對于這類考題，三角板完全可以用相應的三角形去替代，用三角板作為命題的素材，除了生動有趣外，一個更重要的原因就是考查其中的隱含關系，因此，通過這些試題，可以培養學生在生活中做一個有心人，同時也便于試題包含有更多的探究性和開放性.

一、求用三角板（或直尺）拼出的角的度數

用兩塊三角板或一塊三角板和一把直尺，就可以拼出豐富多彩的圖形，我們從眾多的考題中精選了以下幾道具有代表性的試題，從中可以發現這類試題的有趣性、靈活性和考查考生對數學知識理解的準確性.

例1 （2011年菏澤）一次數學活動課上，小聰將一副三角板按圖中方式疊放，則∠α等于

例5 （2011年恩施）將一個直角三角板和一把直尺如圖放置，如果∠α=43°，則∠β的度數是（ ）.

A.43°B.47°C.30°D.60°

在解答例4、例5時，關鍵就是看考生是否能注意到直尺中隱含了相對兩邊的平行性，并利用這個平行性，將要求解的目標角進行集中，且與三角板中的角聯系起來.如果考生抓住了這些隱含條件，則問題順利解答，否則，就有無從下手之感.

例6 （2011年長春）如圖，將三角板的直角頂點放在⊙O的圓心上，兩條直角邊分別交⊙O于A，B兩點，點P在優弧AB上，且與點A，B不重合，連接PA，PB.則∠APB的大小為度.

在例6中，用圓與三角板的組合，產生了耳目一新的情境.本題考查了同弧所對的圓心角與圓周角之間的關系.

二、求拼出的圖形中線段的長度

例7 （2011年黃石）將一個有45°角的三角板的直角頂點放在一張寬為3 cm的紙帶邊沿上，另一個頂點在紙帶的另一邊沿上，測得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30°角，如圖，則三角板的最大邊的長為( ).

A.3 cm B.6 cmC.32 cm D.62cm

本題主要考查考生對紙帶的寬為3 cm的理解，再使用三角形與三角板中內在的邊角關系即可求出三角板的最大邊的長.如圖過A點作對邊的垂線AD，則AD=3 cm.在Rt△ACD中，由于∠ACD=30°，故有AC=2AD=6 cm.在Rt△ABC中，AB=2AC=62 cm.

例8 （2011年樂山）如圖，直角三角板ABC的斜邊AB=12 cm，∠A=30°，將三角板ABC繞C順時針旋轉90°至三角板A′B′C′的位置后，再沿CB方向向左平移，使點B′落在原三角板ABC的斜邊AB上，則三角板A′B′C′平移的距離為（ ）.

A.6 cmB.4 cm

C.（6-23）cmD.（43-6）cm

本題借助三角板的旋轉與平移，綜合考查考生利用三角板自身的角度與邊長，運用相似而求得平移的距離.在本例中，過B′作B′D∥BC交AB于D，則B′D即為三角板A′B′C′平移的距離.由AB=A′B′=12 cm，因此AC=63 cm，BC=B′C′=6 cm，根據B′D′∥BC，有△AB′D∽△ABC，得B′D[]BC=AB′[]AC，即B′D=6×(63-6)[]63=(6-23）（cm），即三角板A′B′C′平移了（6-23）cm.

例9 （2011年威海）一副直角三角板如圖放置，點C在FD的延長線上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，試求CD的長.

在解答本題時，關鍵是要用好“平行線間距離處處相等”，再抓住三角板中邊角關系即可.過點A，B作FC的垂線，垂足為M，N，由于AB∥CF，且∠A=60°，AC=10，得AM=BN=53，又∠BDF=∠E=45°，則ND=BN=53；在∠BCF=30°時，則CN=3BN=15，因此CD=15-53.

三、求拼出的圖形的面積

例10 （2011年棗莊）將一副三角尺如圖所示疊放在一起，若AB=14 cm，則陰影部分的面積是cm2.

在例10中，由于∠ACB=∠E=90°，得出BC∥ED，因此△ACF為等腰直角三角形，又∠B=30°，得AC=1[]2AB，至此，△ACF的面積為49[]2.

四、判斷拼出的圖形形狀及數量與位置關系

例11 （2011年鹽城）將兩個形狀相同的三角板放置在一張矩形紙片上，按圖示畫線得到四邊形ABCD，則四邊形ABCD的形狀是.

例8的圖形給考生清新、亮麗、有趣之感，考生在答題時也有一個好心情.

例12 （2011年內江）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，點D是AC的中點.將一塊銳角為45°的直角三角板如圖放置，使三角板斜邊的兩個端點分別與A，D重合，連接BE，EC.試猜想線段BE和EC的數量及位置關系，并證明你的猜想.

在本例中，三角板AED為我們提供了EA=ED，∠EAD=∠EDA=45°，∠AED=90°.結合已知條件“在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，點D是AC的中點”，可以得到△EAB≌△EDC，因此有BE=EC，∠AEB=∠DEC，從而∠BEC=90°，所以BE=EC，且BE⊥EC.在本例中，一個三角板就是一組邊與角的關系.

例13 （2011年江西）如圖所示，兩塊完全相同的含30°角的直角三角板疊放在一起，且∠DAB=30°.有以下四個結論：①AF⊥BC，②△ADG≌△ACF，③O為BC的中點，

④AG∶DE=3∶4，其中正確結論的序號是.

本例用了“兩塊完全相同的含30°角的直角三角板疊放在一起”形成了一個美麗的圖案，就像考生們小時候玩的風箏；同時，這圖形也是一個對稱圖形，以直線OA為對稱軸.在本例的解答時，

以∠DAB=30°為基礎，可以得出∠BAE=60°，∠CAF=30°，加上

∠C=∠D=60°，考生立即可以確認“①AF⊥BC，②△ADG≌△ACF”是正確的.之后，連接OA，則由圖形的對稱性可得∠OAG=∠OAF=30°，△AOB，△AOC為等腰三角形，OB=OA=OC，即“O為BC的中點”.對于④，只要把握住含30°角的直角三角形，就不難得出.在本例中，考生不僅要關注三角板的內在隱含條件，還要關注它們拼出的圖形的內在隱含特征，從而才能順利地解答此題.

五、三角板的平移、旋轉

例14 （2011年龍巖）一副直角三角板疊放如圖所示，現將含45°角的三角板ADE固定不動，把含30°角的三角板ABC繞頂點A順時針旋轉∠α（α=∠BAD且0°<α<180°），使兩塊三角板至少有一組邊平行.

（1）如圖①，α=°時，BC∥DE；

（2）請你分別在圖②、圖③的指定框內，各畫一種符合要求的圖形，標出α，并完成各項填空：

圖②中，α=°時，∥；圖③中，α=°時，∥.

圖 ① 圖 ② 圖 ③

本例的解答時，要求考生是采用數形結合的方式給出，即要求考生先畫圖，再作答.考生在解答時，借助圖形的直觀輔助思考，而且題目的第一問還給出了參考圖形，有了命題專家這種人文性的關懷對考生思維的引導，從而可得到：“（1）15.（2）圖②中，α=60°時，BC∥DA；圖③中，α=105°時，BC∥EA.”

圖 ② 圖 ③

本例是利用三角板的旋轉，考查兩線平行中的基本問題.本題的精彩之處就在于“條件和結論”的開放性，即先確定條件“α=°”，再確定結論“∥”和解題過程的探究性.在考試的過程中，如果考生能夠借助于自己的學習用具，按照題目的要求“現將含45°角的三角板ADE固定不動，把含30°角的三角板ABC繞頂點A順時針旋轉∠α（α=∠BAD且0°<α<180°），使兩塊三角板至少有一組邊平行”，并結合圖①，先產生BC∥DE，再繼續旋轉，就有BC∥DA與BC∥EA.其實質，就是三角板ABC在繞頂點A順時針旋轉時，依次與三角板ADE的三邊DE，DA和AE平行，至此，考生的思維流暢起來了.這種探究性就是先有圖形的直觀平行，再確定α的值.從而，我們說，根據圖形的直觀來探究相應的平行，再探究相應平行時的條件：α的度數.

例15 (2011年包頭)在Rt△ABC中，AB＝BC＝5，∠ABC＝90°.一塊等腰直角三角板的直角頂點放在斜邊AC的中點O處，將三角板繞點O旋轉，三角板的兩直角邊分別交AB，BC或其延長線于點E，F，圖①、②是旋轉三角板所得圖形的兩種情況.

(1)三角板繞點O旋轉，△COF能否成為等腰直角三角形？若能，指出所有情況(即給出△COF是等腰直角三角形時BF的長)；若不能，請說明理由.

(2)三角板繞點O旋轉，線段OE和OF之間有什么數量關系？用圖①或圖②加以證明.

(3)若將三角板的直角頂點放在斜邊上的點P處(如圖③)，當AP∶AC＝1∶4時，PE和PF有怎樣的數量關系？證明你發現的結論.

圖 ① 圖 ② 圖 ③

本例中的三個問題，都是借助于三角板的旋轉或平移，讓考生先根據條件確定結論，再對結論進行論證說明.

在問題（1）“三角板繞點O旋轉，△COF能否成為等腰直角三角形？”中，當三角板繞點O旋轉時，點F在BC上移動，如果考生抓住∠C=45°，則當∠COF=45°或90°時，則△COF為等腰直角三角形，在此基礎上就可以確定：“①當F為BC的中點時，②當B與F重合時”，即BF=5[]2或0，△COF為等腰直角三角形.

問題（2）要求考生先猜后證，即猜“三角板繞點O旋轉，線段OE和OF之間有什么數量關系”后，再予以證明.本問中雖然是“三角板繞點O旋轉”，但“線段OE和OF之間的數量關系”卻是一個明顯的結論.如圖（1），連接OB，易得△OEB≌△OFC，從而OE=OF.

問題（3）是在問題（2）基礎上的變式.由于“三角板的直角頂點放在斜邊上的點P處(如圖③)，當AP∶AC＝1∶4時”，“PE和PF的數量關系”也隨頂點P的位置變化而變化.

如圖（2），過點P作PM⊥AB，PN⊥BC.

∵∠EPM+∠EPN=∠EPN+∠FPN=90°，

∴∠EPM=∠FPN.

∵∠FMP=∠FNP=90°，∴△PNF∽△PME，∴PM∶PN=PE∶PF.

∵△APM和△PNC為等腰三角形，∴△APM∽△PNC，∴PM∶PN=AP∶PC.

∵PA∶AC=1∶4，∴PE∶PF=1∶4.



本例借助于三角板的旋轉與平移，綜合考查了等腰直角三角形的性質、旋轉的性質、全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質等.本例的（1），（2）是利用三角板的繞著定點旋轉，（3）是創設了一個新的情境，在（1），（2），（3）中，結論都具有開放性，都需要考生在理解題意的基礎上探究解決.本例解決的關鍵在于做好輔助線，構建全等的三角形和相似三角形.

六、在函數類試題中的應用

例16 （2011年麗水、金華）如圖，將一塊直角三角板OAB放在平面直角坐標系中，B（2，0），∠AOB=60°，點A在第一象限，過點A的雙曲線為y=k[]x.在x軸上取一點P，過點P作直線OA的垂線l，以直線l為對稱軸，線段OB經軸對稱變換后的像是O′B′.

（1）當點O′與點A重合時，點P的坐標是；

（2）設P（t，0），當O′B′與雙曲線有交點時，t的取值范圍是.

圖 1 圖 2

在第（1）空解答完畢后，若能對解題過程進行反思，根據∠AOB=60°及以直線l為對稱軸，線段OB經軸對稱變換后的像是O′B′，我們可以很輕松地發現，△OO′P是正三角形，當點O′與點A重合時，△OAP也是一個正三角形，因此，OP=2OB，可得點P的坐標是（4，0）.而且，我們還可以進一步發現，點A是直線l向右上方平移時，O′B′與雙曲線y=43[]x的第一個交點，如圖1.這樣的反思價值很大，為第（2）空的解答奠定了基礎：在第一象限中有t≥4和方法論基礎.

在求解第（2）空時，若能看到直線l向右上方平移時，線段OB經軸對稱變換后的像是O′B′與雙曲線y=43[]x的交點也沿雙曲線y=43[]x在不斷地向右移動，直至B′正好落在雙曲線y=43[]x上為止.此時，若再向右移動直線l，則O′B′

與雙曲線y=43[]x不會有新的交點了.在第（1）空解法的基礎上，我們可以得出△B′BP是一個正三角形，將直線B′B：y=3x-23與雙曲線y=43[]x聯立方程組，求x=5+1，即B′點的橫坐標為x=5+1，再利用△B′BP是一個正三角形，不難求出P的橫坐標為x=25.則在第一象限內有4≤t≤25.根據雙曲線y=k[]x的對稱性可得：4≤t≤25或-25≤t≤-4.

在本題的解答中，易受圖形的影響而忽視第三象限內的情形.這就要在審題中推敲題目中的每一個字，即“過點P作直線OA的垂線l”中的“直線OA”是審題的關鍵.看清了“直線OA”，則不易丟失第三象限的情形，否則就忽視了第三象限的情形.

從本題的解答分析中，我們看到，在解題前對題目認真細致的觀察并展開聯想，將得到的信息再綜合起來，是尋求好的解法的關鍵.即在解題時，要“前思后想”，為我們積累解題經驗.特別是在圖形中發現△OAP（或△OO′P）和△B′BP是正三角形，我們認為是抓住了圖形變化的本質.同時，注重臨界值（點O′與點A重合，點B′正好落在雙曲線y=43[]x上），也為本題的求解減少了運算.

通過這些考題的賞析，我們可以看到，這些考題對考生有著較大的教育作用，在做過這些考題后，學生可能會留下深刻的印象：身邊那么簡單的事物，竟有著這般的神奇.也許，從此后，他就能做一個有心的人，琢磨起身邊的簡單事物；同時，通過這些考題，也激勵著學生，幫助學生養育著創新意識，為考生的終身可持續發展給了一個良好的牽引.我們真誠地希望命題專家們能多命出這種“小中思大”，啟迪思維的好題目.