數(shù)學(xué)概念教學(xué)中思維能力培養(yǎng)初探

【摘要】數(shù)學(xué)概念教學(xué)在整個教學(xué)過程中具有舉足輕重的地位，如何在概念教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力又是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重中之重.本文將結(jié)合自己的教學(xué)實踐提出一點自己的看法.

【關(guān)鍵詞】概念教學(xué)；思維能力；培養(yǎng)；策略

數(shù)學(xué)概念是揭示現(xiàn)實世界空間形式與數(shù)量關(guān)系本質(zhì)特征屬性的思維方式，其本身具有嚴(yán)密性、抽象性、科學(xué)性和明確規(guī)定性.數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是思維展示和發(fā)展的過程，在這個過程中，數(shù)學(xué)概念教學(xué)是一個重要環(huán)節(jié)，也是學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力產(chǎn)生和發(fā)展的初始階段.抓好這個環(huán)節(jié)可以培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維能力，進而在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中達(dá)到事半功倍的效果.

一、重視概念教學(xué)，強化概念意識

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的指向燈，只有有了正確的數(shù)學(xué)概念意識才能使數(shù)學(xué)思維能力向良性方向發(fā)展.教師要重視概念教學(xué)，強化學(xué)生的概念意識.

我在給高一新生上的第一堂數(shù)學(xué)課中提出的第一個問題是：“什么是數(shù)學(xué)？”有些同學(xué)馬上說：“是數(shù)的學(xué)問.”我提示道：“那數(shù)學(xué)就只研究數(shù)字不研究幾何圖形了嗎？”有同學(xué)補充說：“數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形的學(xué)問.”我告訴他們這還不是最好的回答，讓他們在下面討論一下到底什么是數(shù)學(xué).最后有同學(xué)搬出新華字典給出數(shù)學(xué)的概念：研究現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，包括算術(shù)、代數(shù)、幾何、三角、微積分等.這次提問使學(xué)生明白了什么是數(shù)學(xué)以及數(shù)學(xué)研究的對象等，為下面數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究指明了方向，也使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)概念在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的基礎(chǔ)和指向作用.

二、定向引導(dǎo)，深入研究，抓好概念教學(xué)的初始階段，培養(yǎng)良好思維能力

人的思維是有一定惰性的，它常使人們對問題的理解停留在知識的表面，滿足于一知半解.因此，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師要善于定向引導(dǎo)，并且運用適當(dāng)?shù)姆椒ǎū热绺拍钔⒏拍钸w移等），讓學(xué)生由表及里、步步深入地學(xué)習(xí)某個概念，這樣才能使學(xué)生的思維能力得以鍛煉和優(yōu)化.

例如，在教函數(shù)概念之前，我設(shè)計了一個引入部分：讓學(xué)生來研究圓的面積與半徑之間相互變化的規(guī)律.先給出幾組半徑的數(shù)據(jù)讓學(xué)生計算圓的面積，進而讓學(xué)生來求：當(dāng)半徑為x時，圓的面積y的值.這樣使學(xué)生由原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的常量數(shù)學(xué)自然過渡到變量數(shù)學(xué)，在這個基礎(chǔ)上讓學(xué)生總結(jié)得出函數(shù)的初中定義：在一個變化過程中有兩個變量x與y，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與之對應(yīng)，那么說x是自變量，y是x的函數(shù).然后，強調(diào)定義中的兩個“一”即“每一”和“唯一”.此時拋出一個問題：用你所學(xué)知識給函數(shù)重新下一個定義.由于映射的概念剛剛學(xué)過，學(xué)生很容易得出函數(shù)的映射概念.由于是自己探索出來的概念，他們會有一種成就感，學(xué)習(xí)興趣提高.

三、在概念教學(xué)過程中提高學(xué)生思維能力的策略

1.展示概念背景，培養(yǎng)思維的主動性

在數(shù)學(xué)概念教學(xué)過程中向?qū)W生展示概念產(chǎn)生的背景，激發(fā)學(xué)生的好奇心，達(dá)到讓學(xué)生主動思考的目的，從而培養(yǎng)思維的主動性.

我在講述對數(shù)概念時，先講述對數(shù)的起源.對數(shù)起源于想把大數(shù)的相乘問題轉(zhuǎn)化為加減問題的思想.我在黑板上寫出兩個數(shù)列，前一個為等差數(shù)列，后一個為等比數(shù)列，如：

…-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8…

…1[]32，1[]16，1[]4，1[]2，1，2，4，8，16，32，64，128，256…

要計算8×16，只需在下一列數(shù)中找到8與16，在上一列數(shù)中找到其對應(yīng)的數(shù)3和4，3+4=7，在上面一列數(shù)中找到7，7在下一列數(shù)中所對應(yīng)的數(shù)為128，則8×16的值為128.再如，求162，可轉(zhuǎn)化為尋找16所對應(yīng)的數(shù)為4，4+4=8，則162的值為256.這種特殊的算法一下子引起學(xué)生的好奇心，激發(fā)起他們對對數(shù)學(xué)習(xí)的欲望.從教學(xué)反饋的效果來看：大多數(shù)學(xué)生能夠較好較快地掌握對數(shù)概念，并且在學(xué)習(xí)對數(shù)運算性質(zhì)logaM·N=logaM+logaN時都能較快理解并接受.

2.創(chuàng)設(shè)求知情境，培養(yǎng)思維的敏捷性

數(shù)學(xué)概念一般比較枯燥乏味，如果只是照本宣科地講述，學(xué)生容易失去興趣，進而影響概念的理解和記憶.在講述概念之前若能夠創(chuàng)設(shè)一個求知情境，則不光是教學(xué)效果非同一般，而且能夠培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性.

在講述指數(shù)函數(shù)的概念時，我給學(xué)生提出“楊白勞的債務(wù)”問題：楊白勞3月初借黃世仁2元錢，月底要還4元錢，月底無法償還，請求延期.4月底要還8元錢，仍無法償還，又請求延期.如此下去，年關(guān)時要還多少錢？學(xué)生答：29=512（元）.我又問：x月后要還的錢數(shù)y應(yīng)該是多少呢？學(xué)生答：y=2x（元）（x∈N*）.此時，我說，若把這里的“2”推廣到a（a>0，且a≠1），定義域推廣到R，則可得到指數(shù)函數(shù)的概念.學(xué)生很快理解我的意思，自己總結(jié)得出指數(shù)函數(shù)的概念.從他們喜悅的表情可以看出：這個概念他們已經(jīng)理解并接受了.

３.精確表述，細(xì)致剖析新概念，培養(yǎng)思維的縝密性

思維的縝密性表現(xiàn)在抓住概念的本質(zhì)特征，對概念的內(nèi)涵與外延的關(guān)系全面深刻地理解，對數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的嚴(yán)密性和科學(xué)性能夠充分認(rèn)識.因此，當(dāng)概念形成后，要求學(xué)生能夠準(zhǔn)確地表述概念.在這個基礎(chǔ)上，對新概念進行剖析，使學(xué)生對新概念有更加深入、細(xì)致的了解.從而達(dá)到培養(yǎng)他們思維縝密性的目的.

淺談高中數(shù)學(xué)課堂的實效性生成的策略淺談高中數(shù)學(xué)課堂的實效性生成的策略

◎李彥鵬 （寧夏回族自治區(qū)鹽池高級中學(xué) 751500)

高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，要注重實際效果的生成，真正關(guān)注學(xué)生思維能力的發(fā)展，發(fā)掘培養(yǎng)學(xué)生的優(yōu)良品質(zhì)，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).本文旨在探索課堂教學(xué)中的實效性生成的策略.

一、設(shè)計精巧的問題，教師必要的暗示是提高課堂實效的策略

教師通過啟發(fā)，給學(xué)生必要的暗示，并要通過學(xué)生自己的思維活動來獲得、實現(xiàn)這些暗示，這就是我們常說的創(chuàng)設(shè)問題情境，而有效的問題情境則顯得更重要.通過教師暗示，讓學(xué)生在展開討論過程中自然地生成知識過程，建構(gòu)知識體系，這是獲得教學(xué)實效的方法和策略.

例如設(shè)函數(shù)f(x)=6x3+3(a+2)x2+2ax.

（1）若f(x)的兩個極值點為x1，x2，且x1x2=1，求實數(shù)a的值；

（2）是否存在實數(shù)a，使得f(x)是R上的單調(diào)函數(shù)？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由.

第一問簡單，這里從略.第二問，學(xué)生首先求出f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=18x2+6(a+2)x+2a，多數(shù)學(xué)生一看導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)，而原函數(shù)要求在R上是單調(diào)的，自然分兩種情況討論：當(dāng)f(x)是增函數(shù)時，有f′(x)=18x2+6(a+2)x+2a≥0，再由三個二次的關(guān)系得二次項系數(shù)顯然大于零，只需Δ=36（a2+4）≤0，而Δ=36（a2+4）顯然大于0，所以不存在這樣的a；當(dāng)f(x)是減函數(shù)時，有f′(x)=18x2+6(a+2)x+2a≤0，x的解集是空集，因此，這樣的a不存在.綜上，不存在實數(shù)a使得f(x)是單調(diào)函數(shù).實際上可以引導(dǎo)學(xué)生分析，上面解法分兩種情況，都涉及判別式，若首先考慮判別式，發(fā)現(xiàn)判別式恒大于零，立即作出判斷，不需要分類討論就可以解決問題.因此，教師要抓住課堂這一貫穿素質(zhì)教育的主渠道，在課堂上留給學(xué)生一定的空間，及時捕捉學(xué)生的靈感和智慧，發(fā)掘課堂的實效特點，贏得精彩的課例.

二、反思課堂的動態(tài)生成，贏得課堂精彩

設(shè)計動態(tài)的直觀圖形啟發(fā)學(xué)生，直觀加上動態(tài)，更容易引起學(xué)生的注意、質(zhì)疑、嘗試、探求、理解等.更多的還要注意反思，課堂動態(tài)生成能使課堂精彩有效.前沿的課堂教學(xué)理念，是更應(yīng)該關(guān)注教師的行為，好多的課堂應(yīng)是一個動態(tài)的生成過程，不是按設(shè)計好的思路展開教學(xué)，而是在精心預(yù)設(shè)基礎(chǔ)上絕妙的生成，并給課堂提供了無比珍貴的教學(xué)資源，讓課堂煥發(fā)生命力.

例如，若方程x2-1.5x-k=0在(-1，1)上有實根，試求k的取值范圍.

解法1:令f(x)=x2-1.5x-k，當(dāng)方程在（-1，1）上有兩個解，則判別式Δ≥0且f(1)>0，f(-1)>0，解得-9[]16≤k≤-1[]2；當(dāng)方程在（-1，1）上有一個解，則f(1)f(-1)<0或f(-1)=0且f(1)>0或f(-1)>0且f(1)=0，解得-0.5≤k<2.5.綜上得：-9[]16≤k≤-1[]2.

接下來，有一名學(xué)生在解1的基礎(chǔ)上做了改進.

解法2：f(x)=x2-1.5x-k的對稱軸k=3[]4屬于(-1，1)，所以方程在區(qū)間有實根的充要條件是判別式Δ≥0且f(-1)>0.

該解法發(fā)現(xiàn)了本題的特殊性，瞬間將難題破解，雖然不具有一般性，但豐富了課堂資源，使課堂更精彩，并引起其他同學(xué)更精彩的解法.

解法3：令k=x2-1.5x，k屬于(-1，1)，可以看作自變量x關(guān)于k的二次函數(shù).

解法4：令f(x)=x2-1.5x，x屬于(-1，1)，g(x)=k，若方程在區(qū)間有解，則只要f(x)和g(x)圖像有交點即可.

解法3巧妙在把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的值域問題，轉(zhuǎn)化思想，而對值域的處理學(xué)生手段多，問題簡單了.解法4將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖像交點問題，運用數(shù)形結(jié)合思想.這就是課堂的活資源的生成使學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性極大調(diào)動起來，說明學(xué)生的思維不可預(yù)設(shè)，平時教學(xué)要真正激發(fā)學(xué)生的思維，使課堂有生命力，備課要制造一些動態(tài)生成過程的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素材，這就能有效地暴露學(xué)生的思維過程，激發(fā)他們積極參與到教學(xué)中來.

三、抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，把握核心概念，提升課堂實效

把握數(shù)學(xué)的核心概念，從數(shù)學(xué)知識中揭示、發(fā)掘解題方法，從而深刻認(rèn)識數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).在復(fù)數(shù)概念的教學(xué)中，教材指出形如a+bi的數(shù)叫復(fù)數(shù)，a，b屬于R.復(fù)數(shù)的概念看似簡單，實則含義深刻，因此，教師引導(dǎo)學(xué)生要有下列的認(rèn)識：復(fù)數(shù)的形式是唯一的，復(fù)數(shù)不能比較大小，若有兩個形式表示同一個復(fù)數(shù)，則這兩個形式復(fù)數(shù)的實部、虛部分別相等即復(fù)數(shù)相等的概念，這實際是復(fù)數(shù)概念的子概念；復(fù)數(shù)的四則運算最后的結(jié)果一定寫成a+bi的形式，遇到分式、根式、其他的四則運算，都要化成a+bi的形式才能是最簡的，既是復(fù)數(shù)運算的要求又是解決復(fù)數(shù)問題，特別是復(fù)數(shù)代數(shù)運算的解題思路.因此，解決復(fù)數(shù)有關(guān)問題要牢牢抓住復(fù)數(shù)這一核心概念.

總之，在實際課堂教學(xué)中，精心設(shè)計具有典型性、示范性和針對性的題目，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建新的知識體系，認(rèn)識數(shù)學(xué)的本質(zhì)，生成精彩的課堂案例，充分關(guān)注、探索課堂實效，培養(yǎng)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這是一項長期有意義的工作.