關于圓錐曲線中的兩個結論的應用

命題1 A1，A2是橢圓x2[]a2+y2[]b2=1的兩個頂點，A1（-a，0)，A2(a，0).P是橢圓上異于A1，A2的任意一點，∠PA1A2=α，∠PA2A1=β.則有tanα·tanβ=b2[]a2.

命題2 A1，A2是雙曲線x2[]a2-y2[]b2=1的兩個頂點，A1（-a，0)，A2(a，0).P是雙曲線上異于A1，A2的任意一點，∠PA1A2=α，∠PA2A1=β.則有tanα·tanβ=-b2[]a2.

證明 略

應用1 A1，A2是橢圓x2[]a2+y2[]b2=1的兩個頂點，A1(-a，0)，A2(a，0).P是橢圓上異于A1，A2的任意一點.求∠A1PA2的最大值.

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解 設∠PA1A2=α，∠PA2A1=β.由命題1可知：tanα·tanβ=b2[]a2.

∴tanα+tanβ≥2tanα·tanβ=2b[]a，“α=β”時取等號.

又 ∵1-tanαtanβ=1-b2[]a2，

∴tanα+tanβ[]1-tanαtanβ≥2b[]a[]1-b2[]a2=2ab[]a2-b2.即tan(α+β)≥2ab[]a2-b2.

而tan∠A1PA2=-tan(α+β)，

∴tan∠A1PA2≤-2ab[]a2-b2.

∴(∠A1PA2)max=arctan-2ab[]a2-b2.

即當P在短軸的端點處時∠A1PA2最大.

應用2 A1，A2是雙曲線x2[]a2-y2[]b2=1的兩個頂點，A1（-a，0)，A2(a，0).P是雙曲線上異于A1，A2的任意一點，PA1，PA2交橢圓x2[]a2+y2[]b2=1于M，N兩點.求證：MN⊥x軸.



證明 連接A1N，A2M.設∠PA2A1=α，∠PA1A2=β，∠MA2A1=θ.

由命題1：tanαtanθ=b2[]a2.

由命題2：tanαtanβ=-b2[]a2.

∴tanθ=-tanβ，tanθ=tan∠1.

∴θ=∠1，∴θ=∠2.

由命題1，又tan∠3tan∠2=b2[]a2，

∴tanα=tan∠3，∴α=∠3.

∴△A1MA2≌△A1NA2，A1M=A1N，A2M=A2N.

∴A1A2是MN的中垂線，即MN⊥x軸.