現(xiàn)象與本質(zhì)

1.問題的提出

一次，我給學(xué)生布置了如下兩道習(xí)題:

1.假設(shè)100個(gè)產(chǎn)品中有10個(gè)次品，從中抽取5個(gè)檢查，其中次品個(gè)數(shù)為X，求EX．

2.有一批數(shù)量很大的商品，其中次品占１%，現(xiàn)從中任意地連續(xù)取出200件商品，設(shè)其中次品數(shù)為X，求EX．

2.現(xiàn)象描述

從學(xué)生作業(yè)中我發(fā)現(xiàn)了如下比較有代表性的解法:

第1題的解答:

解法1:因?yàn)閄～B5，1[]10，故EX=5×1[]10=1[]2.

解法2:EX=∑5[]i=0Ci10C5-i90[]C5100·i=1[]2.

第2題的解答:

因?yàn)閄～B200，1[]100，故EX=200×1[]100=2.

顯然，第1題的解法2是正確的，為什么不少學(xué)生會(huì)得出解法1呢?而第2題的解答似乎也有商討之處.我于是找了十幾名學(xué)生進(jìn)行了訪談，得到了以下幾個(gè)觀點(diǎn):

對于第1題解法1:

觀點(diǎn)1:題意沒看清，認(rèn)為X服從二項(xiàng)分布；

觀點(diǎn)2:其他方法不會(huì)做，也不知道X服從什么分布，不得已采用了這種方法.

觀點(diǎn)3:認(rèn)為解法1不對，但這種解法簡單，且能算出正確答案，故采用此法.

對于第1題解法2:給出此法的同學(xué)都認(rèn)為本題是超幾何分布，只能根據(jù)期望的定義來做.

對于第2題解法:

不少學(xué)生也給出了上面的觀點(diǎn)1或觀點(diǎn)2.但也有學(xué)生認(rèn)為它雖是超幾何分布，但由于“有一批數(shù)量很大的商品”，故可近似地看作二項(xiàng)分布.

從訪談結(jié)果來看，不少學(xué)生對超幾何分布不甚了解，況且做對的學(xué)生也是“知其然，不知其所以然”.看來，是有必要在課堂上引導(dǎo)學(xué)生作一番探究了.

3.本質(zhì)探究

教材上對超幾何分布僅僅是給出了一個(gè)描述性的定義，并沒有作進(jìn)一步拓展，這可能是造成學(xué)生對超幾何分布感到陌生的原因.一般地，若有一隨機(jī)變量ξ以自然數(shù)i為值，且在條件1≤M≤N和1≤n≤N之下，滿足關(guān)系P(ξ=i)=CiMCn-iN-M[]CnN，i=0，1，2，…，min{n，M}，則稱隨機(jī)變量ξ服從超幾何分布，其中(N，M，n)為參數(shù).對超幾何分布的數(shù)學(xué)期望，通過探究，可得這樣一結(jié)論:在前述定義下，若記p=M[]N，則Eξ=np.

事實(shí)上，對超幾何分布的數(shù)學(xué)期望

可見，第1題中解法1與解法2結(jié)果的雷同，并不是偶然的.但解法1可修正如下:

因X服從超幾何分布，p=10[]100，n=5，

故EX=np=5×10[]100=1[]2.

由于超幾何分布產(chǎn)生于非還原取樣，而二項(xiàng)分布則產(chǎn)生于還原取樣，所以，當(dāng)總體中的元素的數(shù)量N很大，而取樣的次數(shù)n相對很小時(shí)，超幾何分布是可以用二項(xiàng)分布去逼近的.這正是第2題中X雖服從于超幾何分布，但仍可以用二項(xiàng)分布知識(shí)去處理的原因.

4.結(jié)束語

當(dāng)前，不少同學(xué)數(shù)學(xué)題做得很多，而數(shù)學(xué)成績卻進(jìn)步不大.其根本原因就在于這些同學(xué)是為了做題而做題，缺少“解后反思”這一重要環(huán)節(jié)，這無異于“買櫝還珠”“進(jìn)寶山而空還”.倡導(dǎo)解題后的多思善想，能使學(xué)生從表面現(xiàn)象中把握問題的內(nèi)在本質(zhì)，真正做到“解一題，會(huì)一類”，長此以往，對學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的提高是大有幫助的.

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【參考文獻(xiàn)】

［1］王憲生.概率論初步.武漢：湖北教育出版社，2002年4月第1版.

［2］魏宗舒等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程.北京：高等教育出版社，1983年2月第1版.