淺析一元二次方程根的分布問題

【摘要】一元二次方程根的分布是非常常見的問題，既可以單獨出現，也可以由其他問題轉化而來.這類問題與不等式、導數以及新課標新增的函數零點、根的存在性定理和二分法聯系密切，因此在高考中經常出現.

【關鍵詞】一元二次方程;根的分布;零點;根的存在定理

知識儲備

1.設一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)對應的二次函數為f(x)=ax2+bx+c(a>0).

韋達定理：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的二實根為x1，x2，則x1+x2=-b[]a，

x1x2=c[]a.

2.根的存在定理：如果函數y=f(x)在區間［a，b］上的圖像是連續不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么函數y=f(x)在區間(a，b)內有零點，即存在c∈(a，b)使f(c)=0，這個c是方程f(x)=0的根.

一、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的實根符號與一元二次方程系數之間的關系

1.方程有兩個不等正根x1，x2Δ=b2-4ac>0，

x1+x2=-b[]a>0，

x1·x2=c[]a>0.

2.方程有兩個不等負根x1，x2Δ=b2-4ac>0，

x1+x2=-b[]a<0，

x1·x2=c[]a>0.

3.方程有一個正根和一個負根x1，x2Δ=b2-4ac>0，

x1·x2=c[]a<0.



注：在1，2中當方程的根不知等還是不等時，則Δ≥0.

二、一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)根的分布問題

總體原則：一般從以下4個方面考慮，同時畫出草圖

（1）開口方向；（2）判別式；（3）區間端點函數值的正負；（4）對稱軸x=-b[]2a與區間端點的關系.