巧設直線方程x=ty+m

直線與圓錐曲線的位置關系，由于集中交匯了解析幾何中直線、圓錐曲線兩部分的知識內容，還涉及函數與方程、不等式、向量、平面幾何、數列等許多知識，是高考命題的重點和熱點.此類考題綜合性極強，能力要求也極高，其中計算能力的要求尤為重要，因此我

們除了平時要注意計算能力的訓練外，還需注意優化解題過程.

通常情況下我們把直線方程一般設成點斜式、斜截式，但有時我們把直線設成x=ty+m的形式會大大地減小計算量.那么什么時候適合把直線設成x=ty+m的形式呢？下面通過幾個例子做初步探究.

1.當圓錐曲線是拋物線y2=2px時，把直線設成x=ty+m的形式可以使計算更簡捷

例1 在拋物線y2=4x上恒有兩點關于直線y=kx+3對稱，求k的取值范圍.

解 設B，C關于直線y=kx+3對稱，由題意知直線BC的斜率不可能為0.

因此可設直線BC方程為：x=-ky+m，

代入y2=4x整理得：y2+4ky－4m=0.①

設B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC中點為M(x0，y0)，

則y0=1[]2(y1+y2)=－2k，x0=2k2+m.

∵點M(x0，y0)在直線y=kx+3上，

∴－2k=k(2k2+m)+3，

∴m＝－1[]k(2k3+2k+3).②

又 ∵直線BC與拋物線交于不同兩點，

∴①式的Δ=16k2+16m>0，

把②式代入化簡得(k+1)·(k2-k+3)[]k<0，

解得：－1

點評 本題把直線設成x=-ky+m使得直線和拋物線聯立得到的方程①簡潔，從而后續計算也變簡潔，若把直線BC方程設成y=-1[]kx+m，則計算量會增大.

2.當直線過x軸上某一定點M（m，0），且題中涉及以M點為端點的向量相等時，把直線設成x=ty+m，也有助于減小計算量

例2 （2010年全國卷2理）已知橢圓C:x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)的離心率為3[]2，過右焦點F且斜率為k(k>0)的直線與C相交于A，B兩點.若AF=3FB，則k=( ).

A.1 B.2 C.3 D.2

解 因為是求值，且是選擇題，由橢圓的離心率為3[]2可取橢圓方程為x2[]4+y2=1.由題意知直線的斜率不可能為0，因此可設直線方程為x=ty+3，

聯立消去x，得（t2+4)y2+23ty-1=0.

設A（x1，y1），B（x2，y2）.根據韋達定理得

y1+y2=-23t[]t2+4，y1y2=-1[]t2+4.①

由AF=3FB，得（3-x1，-y1)=3(x2-3，y2).②

則-y1=3y2，代入①中可得t=2[]2，

所以k=2.故選B.

點評 本題把直線設成x=ty+3，聯立消元后得到一個關于y的一元二次方程，而由②式可得到兩個等式3-x1=3(x2-3)和-y1=3y2，顯然選擇后者關系簡單得多，因此大大地減小了計算量.

3.當直線過x軸上某一定點M（m，0），且直線的斜率不可能為零，但又可能不存在時，把直線設成x=ty+m，不但可以減小計算量，而且還可避免討論斜率不存在的情況，從而簡化解題過程

例3 (2011年湖南師大附中第六次月考)已知點P是圓x2+y2=1上一動點，點P在y軸上的射影為Q，設滿足條件QM=λQP(λ為非零常數)的點M的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程;

(2)若存在過點N1[]2，0的直線l與曲線C相交于A，B兩點，且OA·OB=0(O為坐標原點)，求λ的取值范圍.

解 (1)設點P的坐標為（x0，y0)，點M的坐標為(x，y)，則點Q的坐標為（0，y0），由QM=λQP，得x=λx0，y=y0，因為點P在圓上，則x20+y20=1，所以x2[]λ2+y2=1(λ≠0)，故點M的軌跡C的方程是x2[]λ2+y2=1(λ≠0).

（2）直線l斜率為零時，OA·OB≠0，故設直線l的方程為x=my+1[]2.

聯立消元得(m2+λ2)y2+my+1[]4-λ2=0.①

設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，

則y1y2=1[]4-λ2[]m2+λ2，y1+y2=-m[]m2+λ2.

因為OA·OB=0，則x1x2+y1y2=0.

又 x1x2=m2y1y2+m[]2(y1+y2)+1[]4，所以(m2+1)1[]4-λ2-m2[]2+1[]4（m2+λ2)=0，