復(fù)合函數(shù)中的“食物鏈”

【摘要】復(fù)合函數(shù)復(fù)合過(guò)程的分析，只有一個(gè)中間變量的復(fù)合函數(shù)很簡(jiǎn)單，難度大的是如何能正確分析有多個(gè)中間變量的多重復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程.筆者從教學(xué)實(shí)踐中總結(jié)出多重復(fù)合函數(shù)復(fù)合過(guò)程的“鏈?zhǔn)健狈治龇椒ǎ\(yùn)用這種方法能迅速而又準(zhǔn)確地分析多重復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程.這種“鏈?zhǔn)健狈治龇椒?，?duì)高職學(xué)生學(xué)習(xí)《高等數(shù)學(xué)》相關(guān)內(nèi)容時(shí)，也能起到相當(dāng)?shù)淖饔?，取得令人滿意的教學(xué)效果.

【關(guān)鍵詞】復(fù)合函數(shù);復(fù)合過(guò)程;影響;變量;導(dǎo)數(shù)

復(fù)合函數(shù)復(fù)合過(guò)程的分析，在《初等數(shù)學(xué)》教學(xué)中是一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn).這一部分知識(shí)掌握得好壞，直接影響高職學(xué)生學(xué)習(xí)《高等數(shù)學(xué)》中的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、復(fù)合函數(shù)的微分及第一類換元積分法等相關(guān)內(nèi)容，這些內(nèi)容都是微積分的重點(diǎn)，只有能正確分析復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程，才能很好地掌握這些微積分內(nèi)容.而復(fù)合函數(shù)復(fù)合過(guò)程的分析，只有一個(gè)中間變量的復(fù)合函數(shù)很簡(jiǎn)單，難度大的是如何能正確分析有多個(gè)中間變量的多重復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程.對(duì)于多重復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程的分析，關(guān)鍵要能正確找出多重復(fù)合函數(shù)的中間變量的順序關(guān)系.關(guān)于這一點(diǎn)，教材中沒(méi)有給出明確具體的分析思路，不少學(xué)生上完這節(jié)內(nèi)容后，腦子里含含糊糊，似懂非懂，不能完全理解.

實(shí)際上，復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程有其內(nèi)在的規(guī)律性，即其自變量、因變量和中間變量之間相互依賴、相互制約，并呈“鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)”.了解了復(fù)合函數(shù)中各變量之間的這種特點(diǎn)，正確分析復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程就變得輕而易舉.以下通過(guò)分析復(fù)合函數(shù)各變量之間的依賴制約關(guān)系，來(lái)探討復(fù)合函數(shù)復(fù)合過(guò)程的分析方法.

一、分析方法

復(fù)合函數(shù)的定義如下：

如果函數(shù)y=f(u)，在函數(shù)u=φ(x)值域的部分或全部上有定義，則函數(shù)y=f［u(x)］叫做x的復(fù)合函數(shù)，x為自變量，u是中間變量.

由復(fù)合函數(shù)的定義可知，對(duì)于函數(shù)u=φ(x)來(lái)說(shuō)，變量x變化直接引起變量u的變化，即x變u變；對(duì)于函數(shù)y=f(u)來(lái)說(shuō)，變量u變化直接引起變量y變化，即u變y變.這樣，變量x的變化，通過(guò)變量u間接引起了變量y的變化，即x變u變y變，且變量x在一定范圍內(nèi)每取一個(gè)確定的值，通過(guò)變量u，變量y有唯一確定的值和變量u對(duì)應(yīng)，這樣就是y通過(guò)變量u成為了變量x的復(fù)合函數(shù).復(fù)合函數(shù)中各變量間的這種關(guān)系，如同生態(tài)系統(tǒng)中的“食物鏈”，一環(huán)扣一環(huán)，鏈?zhǔn)资亲宰兞縳，鏈身是中間變量u，鏈尾是復(fù)合函數(shù)y，即x→u→y.只要能正確找出復(fù)合函數(shù)各變量之間的“食物鏈”，就能正確分析其復(fù)合過(guò)程.

對(duì)于只有一個(gè)中間變量的復(fù)合函數(shù)y，只要從自變量x入手，找出直接受x影響同時(shí)又直接影響變量y的中間變量u，x→u→y，即可分析出其復(fù)合過(guò)程：y=f(u)，u=φ(x).

對(duì)于具有多個(gè)中間變量的多重函數(shù)y，用同樣的方法分析：從自變量x入手，先找出直接受x影響的變量t，再找出直接受t影響的變量v，依次進(jìn)行下去，直到找出直接影響復(fù)合函數(shù)y的變量u為止，即x→t→v→…→u→y.其中間變量按離復(fù)合函數(shù)y的遠(yuǎn)近排其順序，離復(fù)合函數(shù)y最近的變量u稱為第一中間變量，次之為第二中間變量，而直接受自變量x影響的變量t，離復(fù)合函數(shù)y最遠(yuǎn)，是最后一個(gè)中間變量.找出“食物鏈”后，再?gòu)挠业阶髮?xiě)出其復(fù)合過(guò)程：y=f(u)，…，v=v(t)，t=t(x).

以上是筆者從實(shí)際教學(xué)中總結(jié)出的復(fù)合函數(shù)復(fù)合過(guò)程的“鏈?zhǔn)健狈治龇椒?

二、方法的應(yīng)用

例1 分析復(fù)合函數(shù)y=sinx2的復(fù)合過(guò)程.

分析 變量x變化直接引起變量u=x2的變化，變量u變化直接引起復(fù)合函數(shù)y=sinx2的變化，即x→u=x2→y=sinx2，y通過(guò)變量u成為變量x的復(fù)合函數(shù)，u是中間變量.

解 此復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程為

y=sinu，u=x2.

例2 分析復(fù)合函數(shù)y=lnecos(x+1)的復(fù)合過(guò)程.

分析 變量x變化直接引起變量t=x+1的變化，變量t變化直接引起變量v=cos(x+1)的變化，變量v變化直接引起變量u=ecos(x+1）的變化，變量u變化直接引起復(fù)合函數(shù)y=lnecos(x+1)的變化，x→t=x+1→v=cos(x+1)→u=ecos(x+1)→y=lnecos(x+1)，y通過(guò)變量u，v，t成為變量x的復(fù)合函數(shù)，其中u，v，t分別是復(fù)合函數(shù)y的第一、第二、第三中間變量.

解 此復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程為

y=lnu，u=ev，v=cost，t=x+1.

三、教學(xué)實(shí)踐

在高職《高等數(shù)學(xué)》課堂教學(xué)中，對(duì)于一元微積分里“復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)”這一內(nèi)容，筆者有意先用“鏈”式分析法引導(dǎo)學(xué)生分析復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程，再講授復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法.同學(xué)們運(yùn)用“鏈”式分析法能迅速而又準(zhǔn)確地分析多重復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程，這樣，在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的求法時(shí)，很快就能熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法.在學(xué)習(xí)復(fù)合函數(shù)的微分、積分時(shí)，也是輕松自如，游刃有余.復(fù)合函數(shù)復(fù)合過(guò)程的“鏈?zhǔn)健狈治龇椒ǎ瑢?duì)高職學(xué)生學(xué)習(xí)《高等數(shù)學(xué)》相關(guān)內(nèi)容時(shí)，起到了較好的作用，教學(xué)效果令人滿意.