旋轉體體積一般積分公式的坐標變換法推導

【摘要】根據已有的已知截面面積的幾何體體積積分公式，通過坐標變換，推導沿傾斜軸旋轉的旋轉體體積的一般積分公式，繼而推導作為其特殊形式的平面曲線繞坐標軸旋轉所得旋轉體體積的積分公式，列舉公式的應用.

【關鍵詞】坐標變換；旋轉體體積；一般積分公式

一般高等數學、數學分析教材中，只給由平面曲線繞坐標軸旋轉所得旋轉體體積的積分公式，但是，根據幾何體體積的積分公式可以推證，平面曲線y=f(x)上介于M，N兩點間的曲線段繞同平面直線L：Ax+By+C=0旋轉所得旋轉體體積的一般積分公式為：

V=π[](A2+B2)3[]2∫ba［Ax+Bf(x)+C］2|Af′(x)-B|dx.(a)

其中a，b分別為M，N兩點所對應的x值.

依此公式，不僅可簡化曲線段繞一般直線旋轉所得旋轉體體積的計算，同時，坐標軸作為坐標平面直線L的特殊形式，由平面曲線繞坐標軸旋轉所得旋轉體體積的積分公式，自然也可作為公式(a)的特殊形式而得到.公式(a)的推導有多種方法，通過坐標變換推導，不失為其中方法之一.

一、公式的坐標變換法推導

在直線L：Ax+By+C=0的任意一條垂線與曲線y=f(x)至多有一個交點的假定條件下，若B≠0，直線L與y軸的交點為0，-C[]B，設直線L在坐標系xOy上的傾斜角為θ，則tanθ=-A[]B，且

作為更一般的例子，由y=f(x)，x=a，x=b及y=0所圍成區域繞y軸旋轉所得旋轉體體積公式，也可由(c)推出.

【參考文獻】

［1］同濟大學應用數學系.高等數學（第五版）［M］.北京：高等教育出版社，2002.

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［3］陳撫良，張振蘭，黃浩然.解析幾何［M］.北京：科學出版社，2005.

［4］龔冬保.高等數學典型題解法、技巧、注釋［M］.西安：西安交通大學出版社，2000.

［5］李德新.求旋轉體體積的一個公式［J］.高等數學研究，2005(3).