集合知識易錯點剖析

集合是高中數學的基礎，其表述的方式與初中數學有許多不盡相同之處，這就給初學集合的高一學生帶來了一定的困難，就會在解題中出現這樣或那樣的失誤，本文擬通過實例對學生在學習集合的知識時常見的一些易錯問題做一個歸類剖析，供讀者參考.

一、分不清元素代表的屬性

例1 如果集合A={y|y=x2+1，x∈R}，B={(x，y)|y=x+1，x∈R}，求A∩B.

錯解 由y=x2+1，

y=x+1，得x=1，

y=2

或x=0，

y=1，

故A∩B={（1，2），（0，1）}.

剖析 集合A中的元素代表是實數y，y代表二次函數y=x2+1中的函數值y的所有的取值；集合B中的元素代表的是實數對（x，y），它代表一次函數y=x+1的圖像上所有的點，也就是說集合A是數的集合，集合B是點的集合.因此A，B這兩個集合是不可能有公共元素的，它們的交集應該是空集.

正解 因為集合A是數的集合，B是點的集合，所以A∩B=.

點評 研究集合的問題，首先應該明確集合的代表元素是什么，它是代表了哪些元素.

二、忽視檢驗

例2 已知集合A={2，1，a}，集合B={2-a，0，a2+1}，A∩B={2}，求a的值.

錯解 由A∩B={2}得2-a=2，或a2+1=2，即a=0，或a=±1，所以答案是0或±1.

剖析 a=1時，集合A中有兩個元素都是1，這與集合中元素的互異性相矛盾，所以a=1應該舍去；a=0時，集合A={2，1，0}，集合B={2，0，1}，與已知條件A∩B={2}相矛盾，所以a=0也應該舍去.

正解 由A∩B={2}得2-a=2，或a2+1=2，即a=0，或a=±1.

當a=0時，集合A={2，1，0}，集合B={2，0，5}，與A∩B={2}矛盾，故舍去；

當a=1時，因集合A={2，1，a}，由集合元素互異性知，故舍去；

當a=-1時，集合A={2，1，-1}，集合B={3，0，2}，滿足條件A∩B={2}.

綜上所述，所求a的值為-1.

點評 求集合中某些字母的值時，一定要注意檢驗，檢驗是必不可少一個步驟.那么，檢驗什么，或者說檢驗的目標是什么？檢驗就是要檢驗集合中的元素是否滿足確定性和互異性，是否滿足已知條件.

三、忽視空集

例3 已知A={x|-2≤x≤1}，B={x|-m+1≤x≤2m-1}，且BA，求實數m的取值范圍.

錯解 由BA知：-m+1≥-2，

2m-1≤1，

-m+1≤2m-1，解得2[]3≤m≤1.

剖析 學生往往認為集合B中已經有“-m+1≤x≤2m-1”，就以為2m-1一定不會比-m+1小了，其實2m-1<-m+1時，集合B等于空集，也滿足已知條件的.

正解 若B=，則-m+1>2m-1，解得m<2[]3，此時滿足BA；

若B≠，則-m+1≥-2，

2m-1≤1，

-m+1≤2m-1，解得2[]3≤m≤1；

綜上所述，m的取值范圍為m<2[]3或2[]3≤m≤1，即m≤1.

點評 空集是一種重要的特殊集合，解決與兩個集合之間的包含關系相關的集合的問題時，常常需要優先考慮其中的集合是否能為空集，忽視空集就極易產生失誤.

四、忽略對字母的討論

例4 已知集合A={x|ax2+x+2=0，a∈R}，若A中只有一個元素，求a的值.

錯解 因為A中只有一個元素，

所以Δ=1-8a=0，即a=1[]8.

剖析 集合A是關于x的方程ax2+x+2=0的解集，這個方程不一定是一元二次方程，它也可能是一元一次方程，這就需要對字母a進行必要的討論，不討論就產生錯誤了.

正解 ①當a=0時，集合A={x|x+2=0}={-2}，恰好只含有一個元素；

②當a≠0時，集合A中的元素是關于x的一元二次方程ax2+x+2=0的解，由于A中元素只有一個，所以關于x的一元二次方程ax2+x+2=0只有一個解，所以a≠0，

Δ=1-8a=0，解得a=1[]8.

綜上所述，所求a的值為0和1[]8.

點評 部分學生一見到關于x的方程ax2+x+2=0，就以為這是關于x的一元二次方程，其實題目中并沒有說a的值不等于0啊，這就需要進行討論.一般地，當表示集合中元素的屬性對應的表達式中含有字母時，一定要考慮是否需要對字母的取值進行恰當的分類討論，特別是最高次系數為字母的方程、不等式或者函數時，一定要注意討論.

只要我們善于對易錯、易漏的問題及時總結歸類，剖析出錯的原因，準確理解集合的有關概念與運算規則，定能學好集合的有關知識，為高中數學的學習打下牢固扎實基礎.