在數學教學中培養學生的反思意識
2012-01-01 00:00:00龔美英
數學學習與研究 2012年5期
【摘要】當代著名數學家P．R．赫爾莫斯說“問題是數學的心臟”.中學數學教學的一項重要任務是如何培養學生解決問題，在整個解決問題過程中，學生的思維活動將進行各種復雜變化.
【關鍵詞】反思意識;反思行為;培養方法
一、問題提出
1.為什么要培養學生的反思意識
數學學習的正確方法是實行“再創造”，應由學生本人把要學習的東西自己去發現創造出來，教師的任務是引導和幫助學生進行這種再創造工作，設法點燃他們思維的火花，讓學生感受、理解知識的產生和發展過程，才能讓知識得到“同化”和“順化”.但是數學本身的抽象性、數學推理的嚴謹性、數學活動的研究性、數學語言的特殊性，決定了正處于思維發展階段的中學生，不可能一次性直接把握數學學習活動的本質.例如，碰到問題怎么辦？產生錯誤怎么辦？這就需要學生進行反思.
2.用什么方法培養學生的反思意識
培養學生的反思意識的方法很多.采用借“誤”導“悟”是一種便于操作，學生易于接受的方法.教師在教學過程中，利用學生解題中的錯誤或者概念上的錯誤設置“誘誤”的情景，讓學生通過反思錯誤，獲得正確的認識.這樣在充分暴露思維過程中學生對自己進行多角度全方位的評析，通過自行完善，主動糾錯，既可以提高學習效率，又能優化思維品質，有助于對知識的理解和深化，自覺形成新舊知識結構系列.[1].
3.反思過程在學習中的結構分析
從結構圖中可以看出，反思在知識的積累過程起著重要的作用.在教學過程中教師要重視對學生反思意識的培養，教師要注意積累學生表露出來的心理能力和思維障礙的材料，有針對性地設計反思問題，要鼓勵學生現身說法、積極評論研討.為了培養這種批評性，除在課堂教學中抓好“反思”這一環節外，還必須使學生養成隨時監控自己的數學思維的習慣.（葛軍《數學教學論與數學教學改革》）為此，應要求學生在作業時做反思摘記，如：①每步推導、演算所依據的概念、定理、法則；②對錯誤的簡要分析及改正；③題型或思路小結；④解題注意事項；⑤問題的拓展與引申；⑥建立自己的錯題檔案;⑦考試中的得與失的原因，等等，再配合對作業當日的批改，分類指導，及時強化.這種對問題的反思方式，必將對學生今后工作和繼續學習具有深遠意義.
二、在數學教學中教師如何培養學生的反思意識
數學教學主要是解決問題，在解決問題的過程中，如何培養學生的反思能力，從而進一步完善學生的思維品質.結合這方面教學，從如下幾個方面提出自己的做法，以起到拋磚引玉的作用.
1.反思解題思路
審題是對問題所給已知條件作出篩選、提煉，挖掘隱含條件，然后確定正確簡捷的思路.當所選的思路陷入困境時，要引導學生及時進行反思，從實際出發，克服思維定式的影響，尋求最佳的解題途徑.
例1 等差數列{an}的第10項為23，第25項為-22，問：n取何值時Sn最大？
解 設數列的首項為a1，公差為d，則a1+9d=23，a1+24d=-22，得a1=50，d=-3.則an=-3n+53.
因此Sn=50n+1[]2n(n-1)(-3)
=1[]2-3n-103[]62+1032[]2
.
又 n∈N*，
∴當n=17時，Sn的最大值為442.
反思 這種沒有探究問題的本質，憑直覺的解法不簡捷.考慮：為什么數列{an}的前n項和Sn有最大值？是因為這個等差數列是遞減的，所以只要去解an≥0且an+1≤0，即可求得n=17.
2.反思解題過程
通過反思，不僅能優化解題思路，而且當解題碰到困難時，能轉換方向，另辟蹊徑，從而走出困境，撥開迷霧，求得問題的順利解決.
例2 判斷函數f(x)=1-x2[]|x+2|-2的奇偶性.
有意地將下列解題過程讓學生辨析：
由f(-x)=1-(-x)2[]|-x+2|-2=1-x2[]|2-x|-2，所以f(-x)≠-f(x)，f(-x)≠f(x)，故f(x)是非奇非偶函數.[2]
反思 引導學生考慮函數的定義域，由1-x2≥0且|x+2|-2≠0，得-1≤x≤1且x≠0，從而函數的表達式可以化為f(x)=1-x2[]x，就容易判斷f(x)是奇函數.這樣就可以讓學生全面的研究問題，并深化對知識的掌握.
3.反思解題結果
著名數學教育家波利亞說“聰明的人從結果開始”.通過對結果的反思，能發現和糾正運算中的失誤之處，或對解題合理性進行檢驗，找到癥結所在，然后作出適當的補充和調整.
4.反思解題結果的正確性
例3 求函數y=3[]sin2x+sin2x(x≠kπ，k∈Z)的最小值.
誤解 利用基本不等式
y≥23[]sin2xsin2x=23，得最小值為23.
反思 x取什么值時y取得最小值，當且僅當3[]sin2x=sin2x，即sin2x=3>1，無解.說明y不能取到23.于是調整為：令t=sin2x.故0 易證函數y=t+3[]t在區間(0，3)上是減函數， ∴當t=1時，ymin=1+3=4，此時sinx=±1，即x=π[]2+kπ，k∈Z. 5.反思結果的完整性 例4 已知集合A={x|x2-5x+6=0}，B={x|mx+1=0}，且A∪B=A，求實數m的值. 誤解 解方程x2-5x+6=0，得x=2或x=3，由A∪B=A，將x=2或x=3，分別代入mx+1=0，得m=-1[]2或m=-1[]3. 反思 當m=0時，B=，而A∪=A.故解法中只考慮了B≠，忘了B=的情況，答案不全面，應補上m=0，∴m∈-1[]2，-1[]3，0. 6.反思解題方法 解題者得出數學題的答案，問題本身獲得了解決，但并不意味著解題思維活動的結束，而是深入認識的開始，反思會使得解題過程更趨完善和合理.教師要讓學生認識到靈活、簡捷的解題方法正是通過反思而發現的，同化、遷移、創新的能力在反思過程中形成. 7.反思解題方法的簡捷性 例5 解方程x2+6x+10+x2-6x+10=10. 分析 用常規方法，需要兩次平方后能將原方程轉化為高次有理方程，且需驗根.但若注意到方程可化為：(x+3)2+12+(x-3)2+12=10，聯想解析幾何中橢圓的定義，令y=1，則有(x+3)2+y2+(x-3)2+y2=10，此方程是以F1(-3，0)，F2(3，0)為焦點，長軸長為10的橢圓方程，即x2[]25+y2[]16=1. 令y=1時，得x=±5[]415. 反思 這個問題說明，有效地對問題進行深入的再認識，聯想其他數學概念，必將收到意想不到的結果，反思越深，解法越精. 8.反思解題方法的多樣性 例6 △ABC中，已知A(-5，2)，B(3，-4)，C(0，2)，求∠CAB的平分線AE的斜率. 解法1 如圖，設AE交x軸于M，易知AC平行于x軸. ∵∠AMN=∠EAN=∠CAM， θ=π-∠AMN=π-1[]2(π-∠ANM)=π[]2+1[]2∠ANM， 故∠ANM=2θ-π.① 而θ為角平分線AE的傾斜角，即kAE=tanθ； ∠ANM為直線AB的傾斜角，即tan∠ANM=-3[]4. 由①式得tan∠ANM=tan2θ=2kAE[]1-k2AE=-3[]4， 解得kAE=3或kAE=-1[]3. 由圖知kAE<0，故kAE=3舍去，即kAE=-1[]3. 解完之后對解法進一步進行反思，就有如下一些解法. 解法2 設直線AE的方向向量為(1，k)，k即為直線AE的斜率. ∵AC和AE所成的角與AE和AB所成的角相等， ∴AE·AB[]|AE|·|AB|=AC·AE[]|AC|·|AE|. ∴8-6k[]1+k2·10=5[]51+k2，解得k=-1[]3. 解法3 根據角平分線定理和|BE|[]|EC|=|AB|[]|AC|=10[]5=2，故BE=2EC，由定比分點的坐標公式，可得點E（1，0），故kAE=-1[]3. 解法4 設直線AE的斜率為k，由已知得kAC=0，kAB=-3[]4.由AB到AE所成的角與AE到AC所成的角相等，∴k--3[]4[]1+k-3[]4=0-k[]1+0·k，解得kAE=3或kAE=-1[]3.經檢驗，kAE=3不合題意，舍去，即kAE=-1[]3. 通過反思解題方法的多樣性，既培養了學生的反思意識，又提升了他們的發散性思維，這樣一舉兩得的教學效果，何樂而不為呢！ 在解決問題的過程中，要經常引導學生進行深層次的反思，才能發揮學生的主觀能動性，充分暴露思維過程，自主探究、引申、歸納解題過程，自我發現最佳的解題方法.從而極大提高學生分析問題和解決問題的能力，優化學生的思維品質.在教學過程中，作為教師要“與時俱進”改變教學觀念，不僅教師自己要反思，而且要有意識地、不失時機地培養學生的反思能力，促使他們學會反思，與“思”俱進. 反思意識的培養滲透在數學教學的各個環節之中，在此只是涉獵了冰山一角.由于自己知識方面的限制對這方面理解不深，不妥之處在所難免，望各位同行不吝賜教. 【參考文獻】 ［1］劉宗昌.借“誤”導“悟”，優化學生的思維品質.中學數學教學，2002（6）. ［2］余智軍.在解題中培養學生思維的批評性.中學數學，2001（9）.
