抽象函數問題解法例抽象函數問題解法例
2012-01-01 00:00:00劉月潔
數學學習與研究 2012年5期
抽象函數是指沒有給出函數的具體解析式，只給出了一些體現函數特征式子的一類函數.由于抽象函數的表現形式的抽象性，使得這類問題成為函數內容的難點之一，抽象性較強，靈活性大，解抽象函數的重要一點要抓住函數的某些特征，進行觀察、分析、聯想和類比，利用常規的數學思想方法，突破抽象帶來的困難.就抽象函數，本文總結和反思先者的經驗，寫出拙見以供參考.
一、特例法
例1 已知f(x)是R上的增函數，令F(x)=f(1-x)+f(3+x)，則F(x)是R上的（ ）.
Ａ.增函數 Ｂ.減函數
Ｃ.先減后增函數Ｄ.先增后減函數
解析 不妨設f(x)=x，則Ｆ(x)=1-x-(3+x)=-2x-2，顯然F(x)是R上的減函數.
總結 特例、特值、特位、特形是選擇題解答的捷徑，抽象函數問題也不例外.
練習 定義在R上的函數f(x)滿足f(a+b)=f(a)·f(b)，a，b為實數，且f(x)>0.若f(1)=1[]2，求f(-2)=.
二、遞推法
例2 對任意實數x，y均滿足f(x+y)=f(x)+2［f(y)］2，且f(1)≠0，則f(2011)=.
解析 令x=y=0，得f(0)=0，
令x=0，y=1，
得f(0+12)=f(0)+2［f(1)2］，
解得f(1)=0或f(2)=1[]2.
又 ∵f(1)≠0，∴f(1)=1[]2，令x=n，y=1，得
f(n+12)=f(0)+2［f(1)2］.即f(n+1)-f(n)=1[]2，
故f(n)=n[]2，∴f(2011)=2011[]2.
總結 這種求較大的自變量對應的函數值，一般從周期或者遞推式入手，在抽象的關系始終，根據求解目標而賦值遞推，顯然是特殊到一般，再從一般到特殊的基本認識規律，要處理的問題就一目了然了.
三、單調法
例3 已知f(x)的定義域是(0，+∞)，對任意x，y∈(0，+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)，且當x>1時，f(x)>0，若f1[]3=-1，求f(1)的值及滿足不等式f(x)-f1[]x-2≥2的x的取值范圍.
解析 令x=y=1，則f(1)=0.任取x1，x2∈(0，+∞)，且x1
∴f(x2)-f(x1)=fx2[]x1>0，∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在（0，+∞）上是增函數.
∴f(x)-f1[]x-2=f［x(x-2)］≥2.∵f(3)=f(1)-f1[]3=1，∴f(9)=2f(3)=2.
則x(x-2)≥9，
x>0，
x-2>0，解得x≥1+10.
總結 解抽象函數的不等式，往往先用單調性的定義判斷函數的單調性，再把要求解的不等式化為f(A)與f(B)的不等式后，再轉化到自變量A，B之間的不等關系，實現不等式的求解，注意絕不能忽略定義域的約束.
四、周期法
例4 已知f(x)是R上的函數，且f(x+2)=1+f(x)[]1-f(x)，若f(1)=2，求f(2013)的值.
解析 ∵f(x+4)=1+f(x+2)[]1-f(x+2)=-1[]f(x)，∴f(x+8)=-1[]f(x+4)=f(x).
∴f(x)的最小正周期為8，∴f(2013)=f(5)=f(1+4)=-1[]f(1)=-1[]2.
總結 賦值的過程注意到抽象關系式所表達的自變量的增量引起的f(x)的循環，發現抽象函數的周期性是解題的關鍵.
五、對稱法
例5 已知函數f(x)滿足f(x)+f(-x)=2012，求f-1(x)+f-1(2012-x)的值.
解析 由題知函數f(x)的圖像關于（0，1006）對稱，根據原反函數的關系知函數f-1(x)圖像關于點（1006，0）對稱，所以f-1(x)+f-1(2012-x)=0.
練習 定義在R上的函數f(x)在區間（0，2）上為增函數，且對任意x∈R都有f(2+x)=f(2-x)成立，那么下列不等式正確的是（ ）.
A.f(1) C.f7[]2 解析 由f(2+x)=f(2-x)知f(x)的圖像關于直線x=2對稱，有f(x)=f(4-x)，則f5[]2=f3[]2，f7[]2=f1[]2.又∵1[]2<1<3[]2，且函數f(x)在區間（0，2）上為增函數，∴f1[]2 總結 由題設表達式知函數的對稱性，再將所求的轉化到已知上達到求解的目的.
