導數問題的三種類型

導數進入高中數學教材后，給函數性質的研究開辟了一條新的路徑.與傳統方法相比，導數法簡捷明快，具有明顯優勢.若讓學生充分利用導數的解題功能處理有關問題，應先讓學生了解導數問題應用的如下三種類型.

一、基礎型

這類問題主要考查導數的基礎知識，如切線的斜率、函數的單調性、函數的極值與函數的最值.解題的關鍵是理解導數的有關基本概念，掌握求導的基本公式及求解的基本步驟.

例1 曲線y=e-2x+1在點（0，2）處的切線與直線y=0和y=x圍成的三角形的面積為( ).

A.1[]3 B.1[]2 C.2[]3 D.1

解析 本小題主要考查導數的求法、導數的幾何意義即切線的斜率.由題意y′|x=0=(-2e-2x)|x=0=-2，故曲線y=e-2x+1在點（0，2）處的切線方程為y=-2x+2，易得切線與直線y=0和y=x圍成的三角形的面積為1[]3.

二、交匯型

導數一旦與函數、三角函數、數列、二項式定理、不等式、立體幾何等內容結合起來，問題的設計便更加廣闊，因而使得導數成為高中數學知識的一個交匯點，并且具有創新潛力大、綜合性強的特點.

1.導數與三角函數的交匯

例2 函數y=x[]2-2sinx的圖像大致是（ ）.

A B

C D

解析 因為y′=1[]2-2cosx，所以令y′=1[]2-2cosx>0，得cosx<1[]4，此時原函數是增函數;令y′=1[]2-2cosx<0，得cosx>1[]4，此時原函數是減函數，結合余弦函數圖像，可得選C正確.

2.導數與數列、二項式定理的交匯

例3 利用導數求和:

（1）Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1(x≠0，n∈N*）；

（2）Sn=C1n+2C2n+3C3n+…+nCnn（n∈N*）.

分析 這兩個問題可分別通過錯位相減法及利用二項式定理來解決，轉換思維角度，由求導公式（xn）=′nxn-1可聯系到它們是另外一個和式的導數，利用導數運算可使問題的解決更加簡捷.

三、應用型

培養學生的創新意識和實踐能力是數學教學中的一個重要目標和一條基本原則.導數作為一種優越的解題工具，勢必在命題中體現出理論聯系實際的題型.

例4 請你設計一個包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60 cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AE=FB=x cm.

（1）若廣告商要求包裝盒側面積S（cm2）最大，試問x應取何值？

（2）若廣告商要求包裝盒容積V（cm3）最大，試問x應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值.