從中考試題談課本例題教學的功用

【摘要】知識的本質、建構從來都沒有離開過課本的例題習題教學.正視課本例題、習題教學是我們實現真正意義上“減負”的一項重要工作.

【關鍵詞】問題模型；解題建模

一、問題背景

近年江蘇省的中考試題中出現了這類問題：我們將能完全覆蓋某平面圖形的最小圓稱為該平面圖形的最小覆蓋圓.例如線段AB的最小覆蓋圓就是以線段AB為直徑的圓.

（1）請分別作出圖1中兩個三角形的最小覆蓋圓（要求用尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）探究三角形的最小覆蓋圓有何規律，請寫出你所得到的結論（不要求證明）；

（3）某地有四個村莊E，F，G，H（其位置如圖2所示），現擬建一個電視信號中轉站，為了使這四個村莊的居民都能接收到電視信號，且使中轉站所需發射功率最小（距離越小，所需功率越小），此中轉站應建在何處？請說明理由.

（1）如圖1所示.

（2）若三角形為銳角三角形，則其最小覆蓋圓為其外接圓；

若三角形為直角或鈍角三角形，則其最小覆蓋圓是以三角形最長邊（直角或鈍角所對的邊）為直徑的圓.

（3）此中轉站應建在△EFH的外接圓圓心處（線段EF的垂直平分線與線段EH的垂直平分線的交點處）.

理由如下：由∠HEF=∠HEG+∠GEF=47.8°+35.1°=82.9°，∠EHF=50.0°，∠EFH=47.1°，

故△EFH是銳角三角形，所以其最小覆蓋圓為△EFH的外接圓.

設此外接圓為⊙O，直線EG與⊙O交于點E，M，

則∠EMF=∠EHF=50.0°<53.8°=∠EGF.

故點G在⊙O內，從而⊙O也是四邊形EFGH的最小覆蓋圓.所以中轉站建在△EFH的外接圓圓心處，能夠符合題中要求.

二、課本溯源

考試結束后，我們對該題進行了教研，發現解決第（1）問與第（2）問的過程中得分率較高，第（3）問的得分率低，很困惑，覺得與預期相差太遠.

會議剛開始時，王老師說：“在這個問題中，前兩問是作圖探究結論，后一問是利用結論解決應用問題.本題的重點在作圖探究結論，難點是結論的活學活用.”但是為什么會出現考查現狀與預期結果差距太大呢？于老師說：“我認為主要是學生在解題過程中，沒有深刻理解作圖結論的規律性，盲目解決問題，從而是導致解決問題失敗的重要原因！”

在前面的暗示下，我們對學生的解題作了大量的研討.這時候，楊老師說：“大家想一想，這個題目是不是好像在哪里見過一樣啊？”這話把大家說愣了.中考題怎么會在哪里見過呢？正在大家發愣時，他接著說：“我說的見過，就是題目在課本里有它的基本原型和素材！如與解決問題相類似的圖形、類似的建模方法等！”有的老師在沉思著，有的老師在小聲交流著，這時徐老師打開課本說：“這題看像不像蘇教版《數學》九年級（上）119頁第五章5.3節例1的題目： 圖 3如圖3，點A，B，C在⊙O上，點D在圓外，CD，BD分別交⊙O于點E，F.比較∠BAC與∠BDC的大小，并說明理由.”

當大家看到題目時，有的笑了，有的在下面嘀咕著，怎么像啊，題目連考試題的一個問都沒有？有的說這是問角與角之間的大小關系，與圓的覆蓋問題有關系嗎？意見分歧大，一時很難統一.這時陸老師說：“如果把點B，點C連接，不就出現三角形了嗎？”這時大家好像安靜很多了.有的老師說，“是啊，在這個圖中△ABC的外接圓不是比△DBC的外接圓小嗎！而△ABC是銳角三角形，△DBC恰好是鈍角三角形啊！”這一說，一下子把大家的思想統一起來了，都在思考這道考題與課本中的例題的關系了！

三、課本問題的解決

首先，讓大家都思考了一會，然后徐老師分析一下例題.

解析 本題利用轉化的數學思想，通過作輔助線，把不在同弧上的角轉化到同弧上的角，利用三角形外角定理或者外角和定理，說明角之間的大小關系.添加輔助線（連接BE），由同弧所對圓周角相等可得到∠BEC=∠BAC；而由三角形的外角大于任意不相鄰的兩個內角可知∠BEC＞∠D，再由等量代換可知∠BAC＞∠D.

四、教研反思

通過這些題目的分析，我們深刻地感覺到，課本例題的學習不管對學生或是教師而言都是非常重要的.不管考試內容呈現出什么樣的形式，最終方法與技巧來自課本源于課本，所以利用好課本例題習題教學，是我們應對萬變考試的最好法寶.