淺談解析幾何中最值問題的求法
2012-01-01 00:00:00汪家玲
數學學習與研究 2012年5期
【摘要】最值問題是解析幾何中的一類重要題型，通常以圓錐曲線為載體，涉及的知識面較廣，解法靈活多樣，常用的方法有：函數法、基本不等式法、圓錐曲線定義轉化法、數形結合法等.下面本人談談解析幾何中的最值問題的幾種常用求解方法.
【關鍵詞】解析幾何;最值;求法
（一）函數法
把所求的最值表示為關于某個變量的函數，轉化為函數（最常用的是二次函數）的最值問題進行求解.此法的關鍵是建立其函數關系式.
例1 設F1，F2分別是橢圓x2[]4+y2=1的左、右焦點.若P是該橢圓上的一個動點，求PF1·PF2的最大值和最小值.
解 知a=2，b=1，c=3，所以F1(-3，0)，F2(3，0)，設P（x，y)，則PF1·PF2=（-3-x，-y），(3-x，-y)=x2+y2-3=x2+1-x2[]4-3=1[]4(3x2-8).因為x∈［-2，2］，故當x=0，即點P為橢圓短軸端點時，PF1·PF2有最小值-2；當x=±2，即點P為橢圓長軸端點時，PF1·PF2有最大值1.
說明 利用二次函數求最值時，首先要求出定義域，然后則要根據二次函數在其定義域內的單調性來判定.
（二）基本不等式法
利用基本不等式可以求函數（包括多元函數）的最值，但是要重視在利用基本不等式進行放縮的過程中，等號能否成立這一問題.
例2 已知橢圓x2[]a2+y2=1(a為常數，且a>1)，向量m=(1，t)(t>0)，過點A(-a，0)且以m為方向向量的直線與橢圓交于點B，直線BO交橢圓于點C（O為坐標原點）.
(1)用t表示△ABC的面積S(t)；
(2)若a=2，t∈1[]2，1，求S(t)的最大值.
解 (1)直線AB的方程為y=t(x+a)，
由y=t(x+a)，
x2[]a2+y2=1，
得(a2t2+1)y2-2aty=0，∴y=0或y=2at[]a2t2+1，
∴點B的縱坐標為yB=2at[]a2t2+1，∴S(t)=2S△OAB=|OA|·yB=2a2t[]a2t2+1(t>0，a>1).
(2)當a=2時，S(t)=8t[]4t2+1=8[]4t+1[]t.∵t∈1[]2，1，∴4t+1[]t≥24t·1[]t=4，當且僅當4t=1[]t，即t=1[]2時，上式等號成立.∴S(t)=8[]4t+1[]t≤8[]4=2，即S(t)的最大值等于2.
說明 應用基本不等式求函數的最值時，應注意使用不等式的條件、等號成立的條件等，否則容易出錯.
（三）定義法
根據圓錐曲線的定義，把所求的最值轉化為平面上兩點之間的距離、點線之間的距離等.方法的關鍵是恰當應用圓錐曲線的定義.
例3 已知A（3，2），B（-4，0），P是橢圓x2[]25+y2[]9=1上一點，則|PA|+|PB|的最大值為( ).
A.10 B.10-5 C.10+5 D.10+25
解 由橢圓方程得a=5，b=3，所以c=a2-b2=4，故B(-4，0)為橢圓的左焦點.
因為32[]25+22[]9<1，所以點A在橢圓內.設橢圓的右焦點為E(4，0)，
根據橢圓的定義可得|PB|+|PE|=2a=10，故|PA|+|PB|=|PA|+10-|PE|=10+(|PA|-|PE|)，
當P，A，E三點不共線時，有|PA|-|PE|<|AE|，
當P位于射線AE與橢圓的交點P1處時，有|PA|-|PE|=|AE|，
當P位于射線EA與橢圓的交點P2處時，有|PA|-|PE|=-|AE|，
故有-|AE|≤|PA|-|PE|≤|AE|.而|AE|=（3-4）2+（2-0）2=5，所以|PA|+|PB|=10+（|PA|-|PE|）∈［10-5，10+5］.故選C.
說明 利用圓錐曲線的定義求最值，特別適合求與曲線上的點到焦點距離有關的問題，其依據就是橢圓或雙曲線上的點到兩焦點距離有著固定的規律，以及拋物線上任意一點到準線的距離與到焦點的距離相等.
（四）平面幾何法
一個最值問題若能建立其幾何模型，則可利用幾何模型的幾何特性，使問題獲得解決.
例4 已知點A(4，1)，B(0，4)和直線l:3x－y－1=0，試在l上找一點P，使|PA|－|PB|最大，試求P點的坐標.
解 如圖，設B關于l的對稱點為B′(x′，y′)，則BB′的中點x′[]2，y′+4[]2在l上，有3·x′[]2-y′+4[]2-1=0 ①.
又 BB′⊥l，有y′-4[]x′=-1[]3 ②.由①②可得B′的坐標為(3，3)，由A(4，1)，B′(3，3)可得直線AB′的方程為2x+y－9=0.
設AB′與l交于P點，易求得P的坐標為(2，5)，
在l上任取一點P′，由平面幾何知識可知：|P′A|-|P′B|=|P′A|-|P′B′|≤|AB′|=|PA|-|PB|，故點P(2，5)為所求的點.
說明 采用平面幾何中“三角形兩邊之差小于第三邊”這一直觀結論使問題獲解，避免了代數形式的復雜運算.
總之，最值問題是圓錐曲線的綜合問題，它涉及直線、圓錐曲線的定義、方程及位置關系，同時又與三角、函數、不等式、方程、平面向量、導數等代數知識緊密聯系.解這類問題時，需要有較強的代數運算能力和識圖能力，要能準確地進行數與形的語言轉換和運算、推理轉換，并在運算過程中注意思維的嚴密性，以保證結果的完整.
