一道幾何基本圖形的廣泛應(yīng)用

（江蘇省姜堰市勵(lì)才實(shí)驗(yàn)學(xué)校 225500）

圖 1如圖1，已知矩形ABCD，E為DC上的點(diǎn)，∠AEF=90°，交BC于F，∴∠1+∠2=90°，又∵∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，又∵∠D=∠C=90°，∴△ADE△∽△ECF.若AE=EF，則有△ADE≌△ECF.



下面舉例說(shuō)明這個(gè)基本圖形的一些應(yīng)用（以下以☆表示）.

圖 2例1 如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，OB⊥OA，且OB=2OA，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，2），求過(guò)A，O，B的拋物線的解析式.

分析 ∵∠AOB=90°，自A，B作x軸的垂線AM，BN，基本圖形☆就出現(xiàn)了，△AMO∽△ONB.∵OB=2OA，∴相似比為1∶2.∵A(-1，2)，∴BN=2OM=2，ON=2AM=4，∴B(4，-2).則過(guò)A，O，B的拋物線的解析式即可求.

牛刀小試 如圖3，已知P是函數(shù)y=1[]2x(x>0)圖像上一點(diǎn)，PA⊥x軸于點(diǎn)A，交函數(shù)y=1[]x(x>0)圖像于點(diǎn)M，PB⊥y軸于點(diǎn)B，交函數(shù)y=1[]x(x>0)圖像于點(diǎn)N.（點(diǎn)M，N不重合）試問(wèn)：△OMN能否為直角三角形？若能，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖 3提示 當(dāng)∠ONM=90°時(shí)，△OBN∽△NPM，OB[]BN=PN[]PM=2，P(22，2).

當(dāng)∠OMN=90°時(shí)，△OMA∽△NMP，AM[]AO=PN[]PM=2，P2[]2，2[]4.

圖 4例2 如圖4，Rt△AOB中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∠AOB=90°，∠B=30°，若A在反比例函數(shù)y=1[]x(x>0)圖像上運(yùn)動(dòng)，那么B在函數(shù)圖像上運(yùn)動(dòng).

分析 ∠AOB=90°，自A，B分別作y軸垂線AN，BM，所以有△ANO∽△OMB，且相似比為1∶3，面積比為1∶3.

解 由分析得△ANO∽△OMB，相似比為OA[]OB=1[]3，S△ANO[]S△BMO=1[]3.

∵S△ANO=1[]2ON·AN=1[]2，

∴1[]2OM·BM=3[]2，∴OM·ON=3.∵B在第四象限，

∴B在y=-3[]x(x<0)上運(yùn)動(dòng).

例3 如圖，直角坐標(biāo)系中，以A(1，0)為圓心畫(huà)圓，點(diǎn)M(4，4)在⊙A上，直線y=-3[]4x+b過(guò)點(diǎn)M分別交x軸、y軸于B，C，若P在⊙A上，Q是y軸上C點(diǎn)下方的一點(diǎn)，當(dāng)△PQM為等腰直角三角形時(shí)，求Q點(diǎn)坐標(biāo).

分析 由M(4，4)，A(1，0)可求半徑為5，無(wú)論△PQM的哪個(gè)角為直角頂點(diǎn)都可以，構(gòu)造出全等三角形，利用邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以求出Q點(diǎn)坐標(biāo).

綜上所述，Q1（0，2），Q2（0，-8），Q3（0，3-41），Q4（0，0）.

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中規(guī)定，數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中教師應(yīng)幫助學(xué)生在自主探究與合作交流的過(guò)程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).所以教學(xué)過(guò)程中我們不僅要傳授解題過(guò)程，更重要的是方法的歸納、思想的滲透、思維的拓展.