第一類換元積分法的“湊微分”思想探析及運用

【摘要】本文通過對第一換元積分法中的“湊微分”思想進行了深入解析，湊微分的理論依據是原函數的概念和復合函數一階微分形式的不變性，進行湊微分時通過分析函數的內外層結構確定需湊微分的因式，通過微分運算式子進行靈活變形，并總結了湊微分的具體計算方法，最后給出運用湊微分進行第一換元積分法積分計算的三個步驟，并舉例說明運用.

【關鍵詞】第一換元積分法；湊微分；運用技巧

在高等數學中，微積分學是重要的知識內容.第一換元積分法（也叫湊微分法）是一種重要的基本積分方法，它的關鍵步驟是“湊微分”.熟練掌握和運用“湊微分”的思想方法，對學習后續的第二換元積分法和分部積分法等積分方法有很重要的作用.由于積分是微分的逆運算，沒有固定的公式和模式可以直接套用，需要對積分式子進行適當的變形和換元才能夠利用積分公式計算出來，所以，初學者在學習的過程中往往對要湊微分的函數作出多次嘗試，浪費了時間.本文就第一換元積分法中的“湊微分”思想的理論依據進行解析，總結出湊微分的具體計算方法，幫助初學者更好地學習和掌握湊微分的知識并在積分運算中運用.

第一換元積分法是當被積表達式∫g(x)dx不容易求出積分時，可以通過恒等變形和變量代換，將被積表達式轉化成為基本積分公式表中的某一被積表達式，然后根據基本積分表中的某些公式，對新變量進行積分，最后還原求出結果.其具體的計算過程可表示為：∫g(x)d(x)=∫f［φ(x)］·φ′(x)dx=∫f［φ(x)］dφ(x)=∫f(u)du=F(u)+C=F［φ(x)]+C.即“恒等變形→湊微分→換元→積分→回代”的計算過程.其中最為關鍵的步驟是將積分表達式中的φ′(x)湊成dφ(x)的形式，即俗稱的湊微分.

1.“湊微分”思想的理論依據和知識點解析

“湊微分”思想的理論依據：其一是原函數的概念，其二是復合函數一階微分形式的不變性的性質.原函數的概念是不定積分的一個最基本的概念，即：若F′(x)=f(x)，則F(x)稱為f(x)的一個原函數.由微分的定義和計算公式可得：任意函數F(x)的微分dF(x)=F′(x)dx=f(x)dx.相對于復合函數而言，設y=f(u)，u=φ(x)，則復合函數y=f［φ(x)]的微分為dy=f′(u)·φ′(x)dx，由于du=φ′(x)dx，所以上式可以寫成dy=f′(u)du，這表明，不論u是自變量還是中間變量，函數y=f(u)的微分形式保持不變，這就是一階微分形式的不變性，即dy=f′(u)·φ′(x)dx=f′(u)du=f′［φ(x)］d［φ(x)］，這個式子從正向看是利用微分計算公式進行運算，而從逆向看是一個湊微分的過程，實際上也是一個積分的過程，即f′［φ(x)］d［φ(x)］=f′(u)du=f′(u)·φ′(x)dx=dy.所以要掌握湊微分的運算技巧，既要會用微分公式計算函數的微分，又要善于利用逆向思維靈活變形.例如：3dx=d(3x+2)，2xdx=dx2，cosxdx=dsinx，exdx=dex，3dx=d(3x+2)等.

2.湊微分時要分清復合函數結構，由函數結構確定基本積分公式和湊微分因式

湊微分沒有一個固定的模式，需要對函數正向逆向計算比較之后才可以確定湊微分的因式.而將什么函數湊進微分，如何湊，有沒有一般的規律可遵循呢？一般地，大部分被積函數中都會出現復合函數的形式，而運用積分公式運算時需要積分變量與函數的中間變量保持一致，因此，復合函數的外層函數往往決定了求解時可以利用基本積分表中的積分公式，而除去外層函數后剩下的部分即為湊微分的因式.“湊微分”的計算步驟可歸納為：第一，先觀察被積函數的函數結構，由外向內逐層分析復合函數結構，通過外層函數聯系基本積分公式表就可以確定需要運用的基本積分公式；第二，把握積分變量和函數中間變量相一致的原則，將出發點放在被積函數中的復合函數上，除去外層函數剩下的函數的中間變量即為需要湊微分的因式，可嘗試將函數中間變量湊進微分里，然后展開計算函數的微分，與原積分式子作一比較，看需要什么條件進行補充，使之成為恒等變形，然后逆向運算進行湊微分后，即可利用基本積分公式進行求解.

3.運用第一換元積分法計算積分的方法和步驟

我們結合湊微分運用第一換元積分法計算積分時可分為三個步驟進行：

第一步，確定積分公式：分析被積的復合函數的結構，由外層函數聯系基本積分公式表，可以初步判斷將要運用到的某一個基本積分公式.

第二步，“湊微分”：除去外層函數，將復合函數的中間變量函數φ(x)湊進微分里變成dφ(x)，對比觀察原被積表達式，補充一定的條件使之成為一個恒等變形，將積分表達式湊成∫f［φ(x)］dφ(x)的形式，即俗稱的“湊微分”，為能夠運用基本積分公式表中的公式創造條件.

第三步，積分計算：將中間變量函數φ(x)換元，然后利用基本積分公式積分，最后回代換元.當然做熟練之后，換元的步驟可以省略.即將中間變量函數φ(x)視為一個整體變量，通過外層函數套用基本的積分公式進行積分求解即可.

【參考文獻】

［1］游潘麗.第一類換元積分法應用.涼山大學學報，2002(1).

［2］林瑾瑜.不定積分湊微分法教學探析.和田師范專科學校學報，2006(6).