積分上限的函數及其導數的研究與應用

【摘要】積分上限的函數在高等數學中是非常重要的一個概念，本文通過推導給出了幾類積分上限的函數的導數公式.

【關鍵詞】積分上限的函數及其導數

在高等數學積分的學習中，積分上限的函數是學生無法避開的一個概念.在積分基本公式牛頓—萊布尼茨公式的推導中，積分上限的函數的導數的作用是舉足輕重的.但對于積分上限是x的函數的函數的導數，相當一部分學生不能理解，本文通過幾個簡單公式的推導和幾個例子，讓學生能夠快速地掌握這一個知識點.

1.積分上限的函數定義及其導數

f(t)在［a，b］上連續，設x為［a，b］上任一點，現在來考察f(x)在部分區間［a，x］上的定積分∫xaf(t)dt.首先，由于f(t)在［a，x］上仍然連續，因此這個定積分存在，如果上限x在區間［a，b］上變動，則對于每一個取定的x值，定積分有一個對應的值，它在［a，b］上定義了一個函數，記作Φ(x).我們稱Φ(x)=∫xaf(t)dt為積分上限的函數，現在來考慮Φ(x)=∫xaf(t)dt是否可導？如果可導，導數是什么？

函數Φ(x)是否可導取決于limΔx→0Φ(x+Δx)-Φ(x)[]Δx是否存在，若此極限存在，則此極限就是Φ(x)的導數.

由于Φ(x+Δx)-Φ(x)=∫x+Δxaf(t)dt-∫xaf(t)dt=∫xaf(t)dt+∫x+Δxxf(t)dt-∫xaf(t)dt=∫x+Δxxf(t)dt，再由積分中值定理得：

Φ(x+Δx)-Φ(x)=f(ξ)Δx（其中ξ位于x和x+Δx之間）.

故limΔx→0Φ(x+Δx)-Φ(x)[]Δx=limΔx→0f(ξ)Δx[]Δx=limΔx→0f(ξ)=f(x).

所以Φ(x)可導，且Φ′(x)=f(x)，即∫xaf(t)dt′=f(x).

即在求積分上限的函數的導數時，只需把積分上限代到被積函數中去即可.

例1 ∫x1et2dt′=ex2.

2.積分上限是x的函數的函數的導數

現在，我們來看一下如果f(t)的原函數是F(t)，即F′(t)=f(t)，∫φ(x)af(t)dt′=?

由牛頓—萊布尼茨公式得∫φ(x)af(t)dt=［F(t)］φ(x)a=F(φ(x))-F(a).

求導，得：∫φ(x)af(t)dt′=［F(φ(x))-F(a)］′=F′(φ(x))φ′(x)=f(φ(x))φ′(x).

即有∫φ(x)af(t)dt′=f(φ(x))φ′(x)成立.（1）

即在求積分上限是x的函數的導數時，只需把積分上限代到被積函數中再乘以積分上限的導數即可.

例2 ∫x1et2dt′=ex(x)′=ex[]2x ，

3.積分下限是x的函數的函數的導數

我們再來考慮∫