淺談反函數的幾點理論及其應用
2012-01-01 00:00:00鄒恩眾
數學學習與研究 2012年5期
【摘要】函數是高中數學的核心內容，也是高等數學的基礎，反函數是其中的一部分.反函數常用到的理論有五種，在解決初等數學和高等數學的許多問題中發揮著不可或缺的作用，值得認真學習.
【關鍵詞】反函數；初等數學；高等數學
函數是高中數學的核心內容，也是高等數學的基礎，作為函數內容的一部分，反函數以其獨特的概念和性質在解決初等數學和高等數學的許多問題中發揮著不可或缺的作用，不可忽視.
一、反函數的幾點理論
1.什么樣的函數才有反函數
設函數y=f(x)，從中反解出x=φ(y)，如果反對應關系也是單值對應的，則函數y=f(x)具有反函數x=φ(y)=f-1(y)，習慣上記為y=f-1(x).結論是：反對應關系也是單值對應的函數才有反函數.
例如，函數y=x2在（-∞，+∞）內，因為x=±y，反對應關系不是單值對應的，所以無反函數.但是如果改變x的取值范圍，取x∈(0，+∞)，則x=y，反對應關系是單值對應的，則有反函數為x=y，習慣上記為y=x.
2.求反函數的步驟
（1）從關系式y=f(x)中反解出x=φ(y)=f-1(y).
（2）改為習慣寫法，將x與y互換位置，反函數寫為y=f-1(x).
（3）求反函數的定義域.
高中數學中，求反函數常見的類型有六種:一次函數、二次函數、三次函數、分式函數、指數函數和對數函數.此外，反函數還有反三角函數、反雙曲函數.
3.結 論
反函數的定義域（值域）是直接函數的值域（定義域）.
4.單調函數（連續）必有反函數
因為單調函數（連續）的反對應關系必是單值對應的.
該條理論在高等數學推導一些公式和計算時會經常用到.
5.互為反函數y=f(x)與y=f-1(x)的圖像關于直線y=x對稱
利用此結論，可以簡化一些函數的作圖，提高作圖技術.
二、應用舉例
例1 函數y=(x-1)2(x<1)的反函數為（ ）.
A.y=1-x(x≥1) B.y=1+3(x≥1)
C.y=1-x(x≥0)D.y=1-x(x>0)
解析 該題可以不直接求出y=(x-1)2的反函數再進行選擇，而是利用前面的理論3，采用反函數定義域法求直接函數的值域，因為y=(x-1)2(x<1)的值域是y>0，所以它的反函數的定義域為x>0，故選D.
例2 求y=2x+1-13-4x的值域.
解析 利用反函數的方法，作代換求值域.
令t=13-4x(t≥0)，則反函數x=13-t2[]4.
∴y=2·13-t2[]4+1-t=-1[]2t2-t+15[]2=-1[]2(t2+2t+1)+8=-1[]2(t+1)2+8.
∵t∈［0，+∞)是關于t的二次函數的遞減區間，
∴當t=0時，ymax=-1[]2+8=15[]2.
∴函數的值域為-∞，15[]2.
當然，本題還有其他解法，從略.
例3 求函數y=2x+2-x[]2x-2-x的值域.
解析 用反函數定義域法求值域.
∵y=2x+2-x[]2x-2-x=22x+1[]22x-1，∴22x=y+1[]y-1(y≠1)，
x=1[]2log2y+1[]y-1，∴反函數為y=1[]2log2x+1[]x-1.
由x+1[]x-1>0知，反函數的定義域為(-∞，-1)∪(1，+∞).
∴函數y=2x+2-x[]22-2-x的值域為(-∞，-1)∪(1，+∞).
例4 作出函數y=x1[]3的圖像.
解析 作該函數的圖像時，因為取點的數據不好計算，所以將給作圖帶來困難.但是如果利用前面的理論5，先作出它的反函數y=x3的圖像，再利用對稱性作圖，就比較容易作出y=x1[]3的圖像了.
例5 用初等的方法求極限limx→0ex-1[]x（在沒學習羅比達法則之前）.
解析 用變量代換的方法，令y=ex-1，則ex=y+1，反解出x=ln(1+y)，當x→0時，y→0，所以limx→0ex-1[]x=limy→0y[]ln(1+y)=limy→01[]ln(1+y)1[]y=1[]lne=1.
（利用到重要極限二和極限的相關理論）
這里，x=ln(1+y)，即y=ex-1的反函數，變換的過程就是求出反函數的過程.
