2011年江蘇高考數學卷第20題別解及反思

今年江蘇省高考數學卷最后一題的第（2）問難度很大，標準解答從數列的遞推關系入手作出來的解答關系式很多，粗看有點令人生畏.本文從一般與特殊的關系入手，考察數列的前幾項來解決此題，并對此解法進行反思，發現此解法植根于日常教學.

解后反思 的確此題很難，難在何處？題目本身用集合語言對問題進行描述，難以把握題意，而且即使理解了題目意思，若用代數推理的方法得數列的遞推關系來解決需要反復迭代導致關系式過多，難以理清其關系.數列問題就是研究一列數的規律性，別解從特殊項入手，先得到a5，a6，a7，a8，a9，…成等差數列，再逐步得出{an}成等差數列，在探索中問題逐步得到解決.若從別解角度看，應該說本題很好地考查了學生探索問題的能力，而絕非冷冰的演繹推理.

此題的方法與思路，平時教學沒有滲透與涉及嗎？不！下面看幾道平日教學過程中的常見問題.

1.（還貸問題，蘇教版必修5課本第52頁例5）某人從2004年初向銀行申請個人住房公積金貸款20萬元用于購房，貸款的月利率為3.375%，并按復利計算.每月等額還貸一次，并從貸款后的次月開始歸還.如果10年還清，那么每月應還貸多少元？

分析 此題課本是畫了一個還貸示意圖，然后列出了一個一般的關系式，學生可能難以理解.如果我們在教學時問學生，若2年還清呢？3年呢？……然后再讓學生列出10年還清的關系，進而還可以列出n年還清的關系式，一切都容易理解.其實就是通過特殊項去探索數列的規律把問題解決的.

2.（等差數列和的規律的探索，蘇教版必修5課本第44頁第11題）如果等差數列{an}的前n項和為Sn，那么S10，S20-S10，S30-S20是否成等差數列？你能得到更一般的結論嗎？

分析 在“等差數列前n項和”這一節重點是等差數列的前n項和公式，但是解此題我們一定要用公式來解嗎？我們用項表示更簡單，也更有探索的味道.

S10=a1+a2+…+a10，

S20-S10=a11+a12+…+a20，

S30-S20=a21+a22+…+a30，

顯然S10，S20-S10，S30-S20是成等差數列的.這一方法的運用遠比知道這個結論后去套用結論解題帶來的簡便有意思，也更有價值.

如果改為“Sm，S2m-Sm，S3m-S2m(m∈N*)是否成等差數列”用公式解決就更復雜了，而用上述項表示出和來解決，結論顯而易見，而且知道Sm，S2m-Sm，S3m-S2m這個等差數列的公差為原來等差數列{an}公差的m2倍.

數列是數學中很有意思的一塊內容，因為它是富有規律的探索，而不是繁雜的推理與計算.即便是計算問題，怎么算又是一個值得研究的問題.計算不是簡單地套公式而后解方程，應該思考怎樣算更簡單，怎樣算才有藝術.在平日教學過程中，老師應該讓學生深刻理解特殊與一般的關系，并慢慢學會用特殊與一般的關系解決問題.下面給出幾個小題以供練習：

1.（蘇教版必修5課本第44頁第7題）一個等差數列的前12項和為354，前12項中，偶數項與奇數項和之比為32∶27，求公差d.

2.（蘇教版必修5課本第56頁第2題第3小題）在等比數列{an}中，已知a1=2，S3=26，求公比q和通項公式an.

3.（人教B版必修5課本第55頁第5題）設數列{an}滿足an=2an-1+n(n=2，3，…):

（1）若{an}是等差數列，求{an}的通項公式；

（2）{an}是否可能為等比數列？若可能，求出此數列的通項公式；若不可能，說明理由.