例談恒成立問題求解若干法

現(xiàn)在的高考越來越注重對學生的綜合素質的考查，在出題思路上，數學試卷將特別加強對于考生應用意識和創(chuàng)新意識的培養(yǎng)，恒成立問題便是一個考查學生綜合素質很好的途徑，它主要涉及一次函數、二次函數等函數的性質、圖像，滲透著換元、化歸、數形結合、函數與方程等思想方法，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用，各類考試以及高考中都屢見不鮮且其形式逐漸多樣化，但都與函數、導數知識密不可分.如何更好地簡單、準確，快速解決這類問題并更好地認識把握，本文通過舉例說明歸納了這類問題的八種主要求解方法.

一、利用函數性質直接分類討論

f(x)>0恒成立f(x)min>0（注：若f(x)的最小值不存在，則f(x)>0恒成立f(x)的下界大于0）；f(x)<0恒成立f(x)max<0（注：若f(x)的最大值不存在，則f(x)<0恒成立f(x)的上界小于0）

二、數形結合，直觀處理

例1 不等式ax≤x(4-x)在x∈［0，3］內恒成立，求實數a的取值范圍.

解 畫出兩個函數y=ax和y=x(4-x)

在x∈［0，3］上的圖像，如圖.

當x=3時，y=3，a=3[]3.

當a≤3[]3，x∈［0，3］時總有ax≤x(4-x)，所以a≤3[]3.

三、分離參數，借助不等式性質解決

例2 設a>b>c，n∈N*，且1[]a-b+1[]b-c≥n[]a-c恒成立，求n的最大值.

分析 由于不等式等價于(a-c)1[]a-b+1[]b-c≥n，要使原不等式恒成立，

就要使(a-c)1[]a-b+1[]b-c的最小值不小于n.

解 ∵a>b>c，

∴(a-c)1[]a-b+1[]b-c=(a-c)·b-c+a-b[](a-b)(b-c)=(a-c)2[](a-b)(b-c)=［(a-b)+(b-c)］2[](a-b)(b-c)≥［2(a-b)(b-c)］2[](a-b)(b-c)=4.

∴n≤4.又∵n∈N*，則n的最大值為4.

四、變換主次元，利用單調性

某些含參不等式恒成立問題，在分離參數時會遇到討論的麻煩或者即使能容易分離出參數與變量，但函數的最值卻難以求出時，可考慮變換思維角度.即把主元與參數換個位置，再結合其他知識，往往會取得出奇制勝的效果.