“16+6字口訣”解決數列遞推關系求通項問題
2012-01-01 00:00:00杜娟
數學學習與研究 2012年5期
（江蘇省棠張高級中學 221113）
已知數列的遞推關系，求數列的通項，這類題型很常見，根據遞推關系給定的不同，導致解題方法的多樣化，在此，筆者以幾個簡單題為例，總結出五類常見遞推關系求通項的方法.
一、遇差相加
例1 已知函數{an}滿足a1=1，an-an-1=n(n≥2，n∈N*），求an.
分析 將a2-a1=2，a3-a2=3，…，an-an-1=n這n-1個等式疊加，
得到(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=2+3+…+n.
化簡，得an-a1=2+3+…+n.
最終得到通項an=1+2+3+…+n=n(n+1)[]2.
總結 類似于“an+1-an=f(n)”這種前項與后項“差”形式的，我們都可用這種多個等式疊“加”的方法，我們也稱這種方法為疊加法、累加法.
二、遇和相減
例2 已知函數{an}滿足a1=1，a1+a2+…+an=n2，求an.
分析 當n≥2時，a1+a2+…+an-1=(n-1)2.
將已知等式與上式相減，得到通項an=2n-1.
總結 類似于“a1+a2+…+an=f(n)”這種前n項“和”形式的，我們都可用這種兩等式相“減”的方法，這正是我們常見的知和求通項問題，即an=S1， n=1，
Sn-Sn-1，n≥2.
三、遇商相乘
例3 已知函數{an}滿足a1=1，an[]an-1=n[]n-1(n≥2，n∈N*)，求an.
分析 將a2[]a1=2[]1，a3[]a2=3[]2，…，an[]an-1=n[]n-1這n個等式疊乘，
得到a2[]a1·a3[]a2…an[]an-1=2[]1·3[]2·…·n[]n-1.
化簡得到an[]a1=n.
最終得到通項an=n.
總結 類似于“an+1[]an=f(n)”這種前項與后項“商”形式的，我們都可用這種多個等式疊“乘”的方法，我們也稱這種方法為疊乘法、累乘法.
四、遇積相除
例4 已知函數{an}滿足a1=1，a1·a2·…·an=n2，求an.
分析 當n≥2時，a1·a2·…·an-1=(n-1)2.
將已知等式與上式相除，得到n≥2時an=n2[](n-1)2.
最終得到通項an=1， n=1，
n2[](n-1)2，n≥2.
總結 類似于“a1·a2·…·an=f(n)”這種前n項“積”形式的，我們都可用這種兩等式相“除”的方法.
五、遇分式取倒數
例5 已知函數{an}滿足a1=1，an+1=an[]an+1，求an.
分析 對已知等式兩邊同時取倒數，得到
1[]an+1=an+1[]an，即1[]an+1=1+1[]an.
移項得到1[]an+1-1[]an=1，則數列1[]an是以1[]a1=1為首項，1為公差的等差數列.
則1[]an=n，最終得到通項an=1[]n.
總結 類似于“an+1=pan[]qan+l”這種“分式”形式的，我們都可用這種取“倒數”的方法.
遇差相加，遇和相減，遇商相乘，遇積相除，遇分式取倒數.有了這“16+6字口訣”，相信能幫助大家更系統地認識這五類遞推關系，從而也讓我們發現數學的“加減乘除”運算如此美麗.
