淺談數形結合思想在解題中的應用

數形結合是數學解題中常用的思想方法，以形助數，可使復雜問題簡單化、抽象問題具體化.數形結合主要體現在以形助數，就是根據數的結構特征，構造與之相應的幾何圖形，利用圖形的特征解決數的問題.數形結合應用廣泛，巧妙運用“數形結合”思想解題，可以化抽象為具體，效果事半功倍.

一、利用數形結合解不等式

在不等式的題目中有一些題目專門考查同學們的數形結合能力，而且有些題目我們必須得用數形結合才能解.

例1 已知不等式|x-4|-|x-3|

（1）若此不等式的解集為R，求a；

（2）若此不等式的解集為，求a；

（3）若此不等式有解，求a.

分析 利用數形結合體會|x-4|-|x-3|的幾何意義



就是數軸上的動點Ｐ到A，B兩點的距離之差，即PA-PB，顯然-1≤PA-PB≤1.

（1）若不等式的解集為R，則有11.

（2）若不等式的解集為，則有-1≥a，即a≤-1.

（3）若不等式有解，則有-1-1.

點評 借助數軸很容易找到|x-4|-|x-3|的范圍，為解決問題提供了便利.

二、數形結合在解析幾何中的應用

1.與斜率有關的問題

例2 實系數方程x2+ax+2b=0的一根在0和1之間，另一根在1和2之間，求b-2[]a-1的取值范圍.

分析 這個問題表面上看是方程、不等式問題，但直接求解麻煩！數形結合由b-2[]a-1的結構特征，聯想二次函數性質及b-2[]a-1的幾何意義來求解，以形助數，則簡潔明了.

令f(x)=x2+ax+2b，則由已知有f(0)>0，

f(1)<0，

f(2)>0，得到b>0，

1+a+2b<0，

2+a+b>0.

這個二元一次不等式組的解為△ABC內的點(a，b)的集合.

由b-2[]a-1的幾何意義為過點(a，b)和點D(1，2)的直線的斜率，可以看出：

1[]4=kAD

點評 利用數形結合達到了把復雜問題簡單化的目的.

2.與距離有關的問題

例3 求y=（cosθ-cosα+3）2+（sinθ-sinα-2）2的最大（?。┲?

分析 可看成求兩動點P（cosθ，sinθ）與Q（cosα-3，sinα+2）之間距離的最值問題.

解 兩動點的軌跡方程為：x2+y2=1和（x+3）2+（y-2）2=1，轉化為求兩曲線上兩點之間距離的最值問題.