數學概念課引課的實踐與藝術探究

數學是由概念與命題等內容組成的知識體系.它是一門以抽象思維為主的學科，而概念又是這種思維的語言.因此概念教學是中學數學中至關重要的一項內容，一些學生數學之所以差，概念不清往往是最直接的原因，特別是普通中學的學生，對數學概念的理解、應用和轉化等方面存在很大的差異.因此抓好概念教學是提高中學數學教學質量的帶有根本性意義的一環.教學過程中如果能夠充分考慮到這一因素，抓住概念教學的契機，以此提高大多數學生的數學素養是完全可以做到的.

一、數學概念教學中存在的問題

1．教的方面

在教學活動中，數學概念教學存在以下問題：其一，新教材有的地方對概念教學的要求是知道就行，需要某個概念時，就在旁邊用小字給出，這樣過高地估計了學生的理解能力，是造成學生不會解題的一個原因.其二，由于受應試教育的影響，不少教師在教學中重解題、輕概念，造成數學概念與解題脫節的現象.其三，由于數學課程的安排太注重讓學生“接收”別人的經驗而忽略了鼓勵學生“構建”有意義的自我經驗部分.為此，學生如同“影印機”，只會復制但不會應用知識解決問題.有些教師認為概念教學就是對概念作解釋，要求學生機械記憶，沒有看到概念的本質就是一種數學觀念，是一種處理問題的數學方法.“概念課”教完了，也就完成了它的歷史使命，剩下的是趕緊解題，一味地強調解題方法和解題技巧，這樣做勢必將學生培養成模仿機器，培養不出適應現代社會需求的創新型人才.

2．學的方面

從平常數學概念的教學實際來看，學生往往會出現兩種傾向，一是有的學生認為概念學習單調乏味，不去重視它，不求甚解，導致概念認識和理解模糊；二是有的學生對基本概念雖然重視但只是死記硬背，而不去真正透徹理解，只是機械的、零碎的認識.久而久之，嚴重影響學生對數學基礎知識和基本技能的掌握和運用.比如有學生認為f(x)=x2(x∈［-1，2］)是偶函數，有的學生在解題中得到直線的傾斜角為負角，有的學生認為函數y=f(x)與直線x=a有兩個交點……這些錯誤都是由于學生對概念認識模糊造成的.只有真正掌握了數學中的基本概念，我們才能把握數學的知識系統，才能正確、合理、迅速地進行運算、論證和空間想象.從一定意義上說，數學水平的高低，取決于對數學概念掌握的程度.

二、概念課的引課策略

1．引入的情境要突出概念的本質特征

數學概念是用精練的數學語言表達出來的，在教學中，抽象概括出概念后，還要注意深入剖析概念的定義，幫助學生進一步理解概念的含義.如為了使學生更好地理解并掌握數學概念，我們必須揭示其本質特征，進行逐層剖析.例如，在學習函數概念時，(1)“在某個過程中，有兩個變量x和y”是說明：①變量的存在性；②函數是研究兩個變量之間的依存關系；(2)“對于在某一范圍內的每一個確定的值”是說明變量x是在一定范圍內取值，即允許值范圍也就是函數的定義域.(3)“y有唯一確定的值和它對應”說明有唯一確定的對應規律.(4)“y是x的函數”揭示了誰是誰的函數.由以上剖析可知函數概念的本質.

2．引入的方式要符合學生的認知特點

數學概念具有高度的抽象性.從具體到抽象，是人類認識的基本規律，中學生的抽象思維能力還處在發展過程中，其思維能力仍以直觀感性為主.因此，我們在引入數學概念時，應從直觀入手，巧妙地引導學生理解并掌握抽象的概念.教學時，應當遵循學生的認知規律，結合實例，聯系學生已有知識經驗，采用直觀操作等實踐活動的形式，自然地引出概念.

例如：“數軸”概念的教學，教師拿著實物溫度計上課，溫度計上有刻度，根據溫度計上液面不同位置就可以讀出不同的數，測量不同的溫度.與溫度計類似，我們可以在一條直線上畫刻度，標出讀數和方向，用直線上的點表示正數、負數和0，那么這樣的直線叫什么？于是引出了數軸的定義.這樣的講解生動具體，使學生看有實物、想有形象、記有特征，不但使他們學得有感、記得牢固，而且他們理解得也較為準確和深刻.這樣處理教材的例子是相當多的，任課老師若能充分利用，就能取得較好的課堂教學效果.

3．引入的路徑要體現概念產生的背景

每一個概念的產生都有豐富的知識背景，舍棄這些背景，直接拋給學生一連串的概念是傳統教學模式中司空見慣的做法，這種做法卻丟掉了培養學生概括能力的極好機會.“學習最好的途徑是自己去發現”.學生如能在教師創設的情境中像數學家那樣去“想數學”，“經歷”一遍發現、創新的過程，那么在獲得概念的同時還能培養他們的創造精神.如，在立體幾何中異面直線距離的概念教學中，傳統的方法是給出異面直線公垂線的概念，然后指出兩垂足間的線段長就叫做兩條異面直線的距離.教學時可以先讓學生回顧過去學過的有關距離的概念，如兩點之間的距離，點到直線的距離，兩平行線之間的距離，引導學生思考這些距離有什么特點，然后啟發學生思索在兩條異面直線上是否也存在這樣的兩點，它們間的距離是最短的？如果存在，應當有什么特征？于是經過共同探索，得出如果這兩點的連線段和兩條異面直線都垂直，則其長是最短的，并通過實物模型演示確認這樣的線段存在，在此基礎上，自然得出異面直線距離的概念.

三、概念課引課藝術

1．辨析概念與其定義的區別

數學概念是關于對象的數和形的某一類本質屬性的整體的反映.

概念的定義只能給出被定義對象的最顯著的、最基本的本質屬性，并且要求用最簡短的詞句來表達.

定義顯然是概念的最重要的組成部分，但所反映的本質屬性還是不完整的，以下列兩教學實例加以說明：

(1)例如三角函數概念的產生過程，實質上就是給出了這樣的一個構造程序：①建立坐標系；②計算∠θ終邊上一點P(x，y)到原點的距離r；③作x/y、y/x、x/r、y/r四個比；④分別給出四個比的名稱；⑤給出三角函數的定義.在具體教學時，必須揭示出三角函數的產生過程，這樣學生才易于接受和掌握.圖1如sin30°的計算過程：建立圖1所示的坐標系，在30°角的終邊上任取一點P(x，y)，顯然，點P到點O的距離r＝2y，所以sin30°=yr=y2y=12.

(2)圓的概念不僅反映其定義：“圓周上的點到圓心有相等的距離”所描述的本質屬性，并且還包括一系列其他本質屬性：“圓是軸對稱圖形”，“同一圓內相等的弦所對的劣弧相等”等等.

概念的本質屬性中有許多是可以由定義推導的，但是也有例外.如a，b都是正實數，可以證明a+b2≥ab，這是一切正實數的本質屬性，但它需要另外證明，并不能由定義直接推導出來.

2．理解定理與概念的定義的關系

在數學教材中除了定義以外還用定理來反映概念的本質屬性.性質定理是從定義推導而來的.判定定理實際上是與定義等價的數學命題.存在定理是用邏輯推理來說明所定義的對象是確實存在的.對概念下定義以后，指出其存在性，可以使學生明確每個概念都是客觀現實的反映.例如在用不循環的無限小數來定義無理數以后，可以用證明2不是有理數的方法來證明確實有這樣的小數存在.在給出多邊形的定義以后，就應該討論它的作圖方法，如用分圓周n等分的方法，以證明正n邊形是確實存在的.

3．明確數學概念的名稱和符號

因為數學中計算、推理、證明等多數是通過抽象的術語和符號來實現的，所以教師在講解定義時，要把關鍵和必要詞句交代清楚.例如學生往往將正弦函數概念的符號“sin”看成一個數，從而得出如下的錯誤結果：sin(30°+45°)=sin30°+sin45°.這一點教師在教學時要加以留意！

4．強化概念的鞏固和發展

（1）引出新概念后讓學生做一些鞏固練習，例如在給出正弦函數的概念后，為了讓學生從本質上掌握概念，可讓他們解答下列問題：

①在Rt△ABC中∠C為直角，如果∠A=60°，那么∠A的對邊與斜邊的比值是多少？

②如圖2，∠xOy=45°，試求sin45°的值.

③如圖3，在Rt△ABC中，∠C為直角，BC=a，AC=b，則sinA=，sinB=，sin（A+B）=.

圖2圖3

（2）舉反例加深理解概念

對于數學概念的學習，除了可以從正面來強化記憶、學習，也可從反面來加深對它的理解，如為了讓學生從根本上掌握正弦函數符號的意義，不再出現類似“sin（A+B）=sinA+sinB”的錯誤，

可舉反例如下：sin30°=12，sin60°=32，

sin（30°+30°）=32，而

sin30°+sin30°=12+12=1，

故sin（30°+30°）≠sin30°+sin30°.

(3)注意概念之間的聯系，在相互聯系中把握概念

在學習了四個基本三角函數概念之后，應從它們的本質是比值這一根本屬性出發來加深對它們的認識.為達到此目的可讓學生熟練掌握以下幾個關系式：

①sinA=cos(90°-A)，cosA=sin(90°-A)，

tanA=cot(90°-A)，cotA=tan(90°-A)；

②sin2A+cos2B=1，tanA×cotA=1；

③tanA=sinAcosA；

（3）防止概念的“負遷移”

由于概念之間具有內容形式上的共同因素，學生對一個問題的認識往往對另一些問題的認識產生影響，這在心理學中叫做概念的遷移.上述這種概念的遷移現象起著積極作用時，叫做正遷移，反之，起著消極作用的叫做負遷移.例如：log(A+B)=logA+logB，sin（A+B）=sinA+sinB等概念混淆的錯誤，與c#8226;(a+b)=ca+cb(乘法分配性)概念的負遷移現象有關.這時要向學生說明：乘法分配律只適用于數量關系，而log(常用對數)、sin(正弦函數)是“符號”不是“數”.因此，正確、有效地利用概念的正遷移，就能舉一反

三，觸類旁通，從而使學生能明辨是非.

（責任編輯 金 鈴）

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