重視例題的發散,培養解題能力

【摘要】 解題教學是數學教學的組成部分，也是實現課程目標的重要手段. 本文結合長期的教學實踐，從精選例題的發散，變換解題思路；拓寬學生的思路和視角，溝通知識的縱橫聯系，逐步培養學生全面地、立體地、嚴密地、完整地分析問題的良好思維品質和習慣，培養邏輯思維能力和問題解決能力.

【關鍵詞】 解題教學；發散思維；邏輯思維能力

解題是初中數學教學的一個重要內容，有些學生往往對一個問題能找到一種解法而滿足，其實這樣容易封閉學生的思維，不利于學生數學素質的培養和能力的提高. 如果教師在教學中能重視學生發散思維能力的培養，引導學生變換角度探尋解題思路，就能有效提高學生的思維品質和解題能力，現試對幾個教學案例加以剖析.

例１ 已知△ＡＢＣ，試證明∠Ａ ＋ ∠Ｂ ＋ ∠Ｃ ＝ １８０°.

證法一 延長ＢＣ，過點Ｃ作ＣＥ∥AB． 如圖１，則∠1 ＝ ∠Ａ，∠２ ＝∠Ｂ，由于∠1 ＋ ∠２ ＋ ∠ＡＣＢ ＝ １８０°，等量代換可得：∠Ａ ＋ ∠Ｂ + ∠ＡＣＢ ＝ １８０°．

證法二 如圖１，延長ＢＣ，過點Ｃ作∠1 ＝ ∠Ａ，則ＣＥ∥ＡＢ（以下證明過程略）.

證法三 如圖（２），過點Ａ作ＥＦ∥ＢＣ，則∠1 ＝ ∠Ｂ，∠２ ＝ ∠Ｃ，∵∠１ ＋ ∠２ ＋ ∠３ ＝ １８０°，等量代換得：∠Ｂ ＋ ∠ＢＡＣ ＋ ∠Ｃ ＝ １８０°.

證法四 如圖３，作射線ＡＤ∥ＢＣ，則∠Ｂ = ∠１，∵∠1 ＋ ∠２ ＋ ∠Ｃ ＝ １８０°，等量代換后得：∠Ｂ ＋ ∠Ａ ＋ ∠Ｃ ＝ １８０°.

證法五 如圖４，在ＢＣ上取廣點Ｄ，過點Ｄ作ＤＥ∥ＡＢ，ＤＦ∥ＡＣ，由平行線性質可得： ∠1 ＝ ∠Ｃ，∠２ ＝ ∠Ｂ，∠３ ＝ ∠Ａ，∵∠1 ＋ ∠２ ＋ ∠Ｃ ＝ １８０°，等量代換得： ∠Ａ ＋ ∠Ｂ ＋ ∠Ｃ ＝ １８０°.

證法六 如圖５，在△ＡＢＣ內取一點Ｏ，過點Ｏ分別 作ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ三邊的平行線，容易證得： ∠１ ＝ ∠Ｃ，∠２ ＝ ∠Ｂ，∠３ ＝ ∠Ａ，由于∠１ ＋ ∠２ ＋ ∠３ ＝ １８０°，等量代換可得：∠Ａ + ∠Ｂ ＋ ∠Ｃ ＝ １８０°.

證法七 如圖６在△ＡＢＣ內取一點０，連接ＢＯ， ＡＯ，ＣＯ，由三角形外角性質可得，∠７ ＝ ∠１ ＋ ∠２，∠８ ＝ ∠３ ＋ ∠４，∠９ ＝ ∠５ ＋ ∠６，∵∠７ ＋ ∠８ ＋ ∠９ ＝ １８０°，等量代換可得：∠１ ＋ ∠２ ＋ ∠３ ＋ ∠４ + ∠５ ＋ ∠６ ＝ １８０°，即∠Ａ ＋ ∠Ｂ ＋ ∠Ｃ ＝ １８０Ｂ.

例２ 推導證明：ｎ邊形的內角和為（ｎ － ２）·１８０°.

本例可先從求四、五、六邊形等較為簡單具體的多邊形的內角和為切入點，然后探求總結求ｎ邊形內角和的方法規律，如下三圖所示.

容易知道，從多邊形的一個頂點出發，可引（ｎ － ３）條對角線，這（ｎ － ３）條對角線把ｎ邊形分成（ｎ － ２）個三角形，由三角形內角和性質可得ｎ邊形內角和為（ｎ － ２）·１８０°，仍以四、五、六邊形為例，對多邊形的不同三角剖分進行探究，除了上面這種常用分法外，以下兩種不同分法也經常被采用，如圖甲，在五邊形ＡＢＣＤＥ的ＢＣ邊上取一點Ｆ，連接ＦＡ，ＦＥ，ＦＤ，可得到４個剖分三角形，４個三角形的內角和為１８０° × ４ ＝ ７２０°，然后減去∠１ ＋ ∠２ ＋ ∠３ ＋ ∠４ ＝ １８０°，得五邊形的內角和為７２０° － １８０° ＝ ５４０° ＝ （５ － ２） × １８０°，又如圖乙，在六邊形ＡＢＣＤＥＦ內取一點Ｏ，連接ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ，ＯＤ，ＯＥ，ＯＦ，可得六個剖分三角形，其內角和為１８０° × ６ ＝ １０８０°，然后減去∠１ ＋ ∠２ ＋ ∠３ ＋ ∠４ ＋ ∠５ ＋ ∠６ ＝ ３６０°，得六邊形的內角和為１０８０° － ３６０° ＝ ７２０° ＝ （６ － ２） × １８０°，繼續試驗觀察可以發現，多邊形的邊數每增加一邊，剖分三角形的個數就增加一個，這樣就用多種不同方法推導和驗證了多邊形的內角和為（ｎ － ２）·１８０°.

例３ 如圖所示，ＡＢ∥ＣＤ，∠Ｂ ＝ ｘ°，∠Ｄ ＝ ｙ°，∠ＢＥＤ與∠Ｂ、∠Ｄ的關系. 直接求∠ＢＥＤ與∠Ｂ，∠Ｄ的關系有難度，如果能添適當的輔助線就能化難為易，這樣如何添輔助 線就成為解題的關鍵，下面是經交流合作歸納出來的幾種不同的添法.

如圖 １，過點Ｅ作ＭＮ∥ＡＢ，則∠1 ＝ ∠Ｂ ＝ ｘ°，∠２ ＝ ∠Ｄ ＝ ｙ°，易證得∠ＢＥＤ ＝ ∠１ ＋ ∠２ ＝ ∠Ｂ ＋ ∠Ｄ ＝ （ｘ ＋ ｙ）°. 或者作ＥＭ∥ＡＢ，得∠Ｂ ＋ ∠３ ＝ １８０°，∠Ｄ ＋ ∠４ ＝ １８０°，再利用∠ＢＥＤ ＝ ３６０° － （∠３ ＋ ∠４） ＝ ３６０° － （１８０° － ∠Ｂ ＋ １８０° － ∠Ｄ） ＝ ∠Ｂ ＋ ∠Ｄ ＝ （ｘ ＋ ｙ）°. 求得關系.

如圖２，延長ＢＥ交ＣＤ于Ｆ，∵ＡＢ∥ＣＤ，則有∠ＢＦＤ ＝ ∠Ｂ ＝ ｘ°，又∵∠ＢＥＤ ＝ ∠ＢＦＤ ＋ ∠Ｄ，等量代換可得∠ＢＥＤ ＝ ∠Ｂ ＋ ∠Ｄ ＝ （ｘ + ｙ）°，如圖延長ＤＥ交ＡＢ于Ｍ，同理可證.

如圖３，連接ＢＤ，∵ＡＢ∥ＣＤ，∴∠１ ＋ ∠２ ＋ x ＋ ｙ ＝ １８０° ，即∠１ ＋ ∠２ ＝ １８０° － （ｘ ＋ ｙ）°，而在△ＢＥＤ中，∠ＢＥＤ ＝ １８０° － （∠１ ＋ ∠２），∴∠ＢＥＤ ＝ １８０° －［１８０° － （ｘ ＋ ｙ）°］ ＝ （ｘ ＋ ｙ）°.關系證得.

如圖４，過點Ｅ任作ＭＮ 分別交ＡＢ，ＣＤ于Ｍ，Ｎ，∵ＡＢ∥ＣＤ，∴∠１ ＋ ∠２ ＝ １８０°，又∵∠３ ＝ １８０° － ∠1 － ｘ°，∠４ ＝ １８０° －∠２ － ｙ°，∠３ ＋ ∠４ ＝ （１８０° － ∠１ － ｘ°） ＋ （１８０° － ∠２ － ｙ°） ＝ ３６０° － （∠１ ＋ ∠２） － （ｘ ＋ ｙ）° ＝ １８０° － （ｘ ＋ ｙ）°而∠ＢＥＤ ＝ １８０° － （∠３ ＋ ∠４），等量代換得：∠ＢＥＤ ＝ １８０° － ［１８０° － （ｘ ＋ ｙ）°］ ＝（ｘ ＋ ｙ）°. 關系證得.

例４ 已知五邊形ABCDE，求∠Ａ ＋ ∠Ｂ ＋ ∠Ｃ ＋ ∠Ｄ ＋ ∠Ｅ的度數.

求不規則圖形的角度和，關鍵是把不規則圖形轉化成規則圖形來求解，以下是幾種不同的轉化思路.

解法一 如圖１，利用三角形的外角性質.

∵∠1 ＝ ∠Ｃ ＋ ∠Ｅ，∠２ ＝ ∠Ｂ ＋ ∠Ｄ，∠Ａ ＋ ∠ｌ ＋ ∠２ ＝ １８０°.

∴∠Ａ ＋ ∠1 ＋ ∠２ ＝ ∠Ａ ＋ ∠Ｂ ＋ ∠Ｃ ＋ ∠Ｄ ＋ ∠Ｅ ＝ １８０°.

解法二 如圖２，利用三角形內角和性質.

∵∠ＢＯＥ ＝ ∠ＣＯＤ，∴∠Ｂ ＋ ∠Ｅ ＝ ∠1 ＋ ∠２.

∵∠Ａ ＋ ∠ＡＣＥ ＋ ∠1 ＋ ∠２ ＋ ∠ＡＤＢ ＝ １８０°，等量代換得：∠Ａ ＋ ∠ＡＣＥ ＋ ∠Ｂ ＋ ∠Ｅ ＋ ∠ＡＤＢ ＝ １８０°，即∠Ａ ＋ ∠Ｂ ＋ ∠Ｃ＋ ∠Ｄ ＋ ∠Ｅ ＝ １８０°.

解法三 如圖３，利用鄰補角關系.

連接ＡＦ交ＢＥ于點Ｏ，∵∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ、∠Ｄ、∠Ｅ分別是△ＡＦＣ、△ＡＦＤ、△ＢＯＦ、△ＥＯＦ的內角，這四個三角形的內角和為１８０° × ４ ＝ ７２０°，減去∠ＡＦＣ ＋ ∠ＯＦＥ ＋ ∠Ｄ ＋ ∠ＢＦＯ ＋ ∠ＢＯＦ ＋ ∠ＥＯＦ ＝ １８０° × ３ ＝ ５４０°后，剩下的度數就是∠Ａ ＋ ∠Ｂ ＋ ∠Ｃ ＋ ∠Ｄ ＋ ∠Ｅ ＝ ７２０° － ５４０° ＝ １８０°.

解法四 如圖４，利用多邊形內角和關系.

依次連接Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ得五邊形ＡＢＣＤＥ，易知其內角和為５４０°，五邊形FＧＨＭＮ的內角和也為５４０°，圖中和∠ＡＦＢ與∠ＣＦＥ一樣的對頂角有五組，因此，∠１ ＋ ∠２ ＋ ∠３ ＋ … ＋ ∠９ ＋ ∠１０ ＝ １８０° × ５ － ５４０° ＝ ３６０°，由五邊形ＡＢＣＤＥ的內角和減去∠１ ＋ ∠２ ＋ ∠３ ＋ … ＋ ∠９ ＋ ∠１０的度數，就得∠Ａ ＋ ∠Ｂ ＋ ∠Ｃ ＋ ∠Ｄ ＋ ∠Ｅ ＝ ５４０° － ３６０° ＝ １８０°.

解法五 如圖５，利用三角形和多邊形綜合知識的關系，因為∠１、∠２、∠３、∠９、∠1０都是五邊形ＦＧＨＭＮ的外角，所以∠１ ＋ ∠２ ＋ ∠３ ＋ … ＋ ∠９ ＋ ∠１０ ＝ ３６０° × ２ ＝ ７２０°.又因為∠Ａ ＋ ∠Ｂ ＋ ∠Ｃ ＋ ∠Ｄ ＋ ∠Ｅ ＋ （∠1 ＋ ∠２ ＋ ∠３ ＋ … ＋ ∠９ ＋ ∠１０） ＝ １８０° × ５ ＝ ９００°，所以容易可得：∠Ａ ＋ ∠Ｂ ＋ ∠Ｃ ＋ ∠Ｄ ＋ ∠Ｅ ＝ ９００° － （∠１ ＋ ∠２ ＋ ∠３ ＋ … ＋ ∠９ ＋ ∠１０） ＝ ９００° － ７２０° ＝ １８０°.

例５ 如圖所示，由邊長為１的小正方形組成的圖形，Ａ，Ｂ兩點的位置如圖所示，請確定Ｃ點的位置，使Ｓ△ＡＢＣ ＝ １，此題有些學生往往因能找到如Ｃ1，Ｃ２這樣的明顯點而滿足，不再作深入的探究，致使答案不完整. 只要教學中能重視發散思維的培養，像Ｃ３，Ｃ４，Ｃ５，Ｃ６這些滿足條件的點也是不難找到的，因此符合要求的點有６個，即Ｃ１（２，４），Ｃ２（４，２），Ｃ３ （３，１），Ｃ４ （１，３），Ｃ５（０，２），Ｃ６（２，０）.

例６ 在一平面上畫出四個點，如果把這四個點彼此連接連成一個圖形，那么這個圖形會有幾個三角形？

此例的關鍵是要搞清四點的幾種不同的位置關系，讓學生充分發散思維，交流合作，探索總結，就會得到四點共線，三點共線，兩點共線幾種不同情況，畫出下面的對應圖形. 結合圖形，容易得到能構成的三角形有０個、３個、４個、８個的結論.

例７ 用三根火柴棒 （不能折斷）可以搭成一個等邊三角形，那么用六根火柴棒 （不能折斷）能搭成幾個同樣大小的等邊三角形.

受思維定式的影響，許多學生都在同一平面內思考和解決問題，如下所示的幾種不同的等邊三角形都能搭成.

如果能重視發散思維的培養，有些學生就會把空間立體的情況再考慮進去，就會用六根火柴棒搭成如右圖所示的圖形，這樣就能得到用六根火柴棒能搭成一個、兩個、四個同樣大小的等邊三角形的完整答案.

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