數(shù)學(xué)猜想的功能例說

【摘要】 數(shù)學(xué)猜想是初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的一種工具，是解決數(shù)學(xué)問題的一類思路，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的一個載體，數(shù)學(xué)教學(xué)中利用數(shù)學(xué)猜想去解決問題更是中考數(shù)學(xué)的重要一環(huán).

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)猜想；類比；歸納

一、何謂數(shù)學(xué)猜想

猜想本意是猜測；猜度. 猜想是對研究的對象或問題進(jìn)行觀察、分析、比較、類比、歸納等，依據(jù)已有的材料和知識作出符合一定的經(jīng)驗(yàn)與事實(shí)的憑借直覺所做的推測性想象的思維方法，是一種創(chuàng)造性的思維活動，具有真實(shí)性、探索性、靈活性和創(chuàng)造性等基本特點(diǎn).

數(shù)學(xué)猜想就是依據(jù)某些已知事實(shí)和數(shù)學(xué)知識，對未知量及其關(guān)系所得出的一種推斷，是數(shù)學(xué)中的合情推理. 或者說數(shù)學(xué)猜想是建立在一定現(xiàn)有理論和客觀事實(shí)基礎(chǔ)上的邏輯推理和假設(shè).

二、數(shù)學(xué)猜想的功能

（一）數(shù)學(xué)猜想是課堂教學(xué)的一種工具

課堂教學(xué)的方法和手段可以是多樣化的，教學(xué)上沒有固定的方法，只要適合學(xué)生，有利于數(shù)學(xué)教與學(xué)的過程開展，有利于激發(fā)學(xué)生的興趣，有利于發(fā)展學(xué)生的思維，都不失為有效的方法. 在初中的數(shù)學(xué)教學(xué)中，就有許多可以利用數(shù)學(xué)猜想去進(jìn)行課堂教學(xué)的內(nèi)容，比如利用類比猜想去幫助學(xué)生接受新的數(shù)學(xué)知識.

例１ 浙教版§７．１分式（２）分式的基本性質(zhì)內(nèi)容，就可以通過小學(xué)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)的類比去猜想分式的基本性質(zhì).

下面這些式子成立嗎？依據(jù)是什么？

待學(xué)生講出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)后，再讓學(xué)生講出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)的內(nèi)容.

類似地，分式也有以下基本性質(zhì)：分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等于０的整式，分式的值不變.

利用類比猜想去進(jìn)行初中數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容是非常多的，實(shí)數(shù)的運(yùn)算律可以由有理數(shù)的運(yùn)算律類比，多項(xiàng)式的計算可以由數(shù)字的計算類比得到，等等.

又比如可以利用歸納猜想進(jìn)行數(shù)學(xué)課堂教學(xué)

例２ 凸多邊形的內(nèi)角和教學(xué)

三角形內(nèi)角和為１８０°，是１個三角形；四邊形可分為２個三角形，所以內(nèi)角和為２ × １８０°；五邊形可分為３個三角形，所以內(nèi)角和為３ × １８０°；六邊形可分成４個三角形，所以內(nèi)角和為４ × １８０°. 由此可以通過歸納猜想得到；凸ｎ邊形的內(nèi)角和為（ｎ － ２） × １８０°.

例３ （浙教版八年級上冊§３．１認(rèn)識直棱柱（Ｐ５７）作業(yè)題）觀察直棱柱的模型或畫出示意圖，填寫下表：

（２）從上表中，你能發(fā)現(xiàn)直棱柱的面數(shù)、棱數(shù)和頂點(diǎn)數(shù)之間有什么規(guī)律嗎？

規(guī)律是：面數(shù) ＋ 頂點(diǎn)數(shù) － 棱數(shù) ＝ ２.

從解題的過程看，是通過對幾種常見的直棱柱的面數(shù)、棱數(shù)和頂點(diǎn)數(shù)的探索去歸納出一般的直棱柱面數(shù)、棱數(shù)和頂點(diǎn)數(shù)之間的規(guī)律.

利用數(shù)學(xué)猜想進(jìn)行課堂教學(xué)，對于學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)知識的作用是明顯的.

（二）利用數(shù)學(xué)猜想是學(xué)生解題的一類思路

數(shù)學(xué)習(xí)題的展示方式多種多樣，解題的角度也可以是五花八門，但是有的數(shù)學(xué)習(xí)題，就必須利用數(shù)學(xué)猜想作為解題的思考途徑，具體的有類比性猜想、歸納性猜想、對稱性猜想、仿造性猜想和逆向性猜想、探索性猜想等，在初中數(shù)學(xué)的解題中，類比、歸納性猜想探索性猜想應(yīng)用得比較多.

例４ 計算－１ ＋ ３ － ５ ＋ ７ － ９ ＋ … ＋ （－１）ｎ（２ｎ － １）的值.

就可以先計算下面幾項(xiàng)：－１；－１ ＋ ３；－１ ＋ ３ － ５；－１ ＋ ３ － ５ ＋ ７；－１ ＋ ３ － ５ ＋ ７ － ９的結(jié)果分別是－１，２，－３，４，－５，由上述數(shù)據(jù)我們可以猜想－１ ＋ ３ － ５ ＋ ７ － ９ ＋ … ＋ （－１）ｎ（２ｎ － １） ＝ （－１）ｎｎ.

例５ 一個長方形把平面分成兩部分，那么３個長方形最多把平面分成多少部分？那么ｎ個長方形最多可以把平面分成多少個部分？

分析 如圖1，先畫出相應(yīng)的圖形，并數(shù)一下最多把平面分成幾個部分，然后再去找規(guī)律.

畫出第一個長方形，顯然它把平面分成兩部分.

第２個長方形有四條邊，每條邊都可以掛一下原長方形的每個角，這樣就產(chǎn)生最多的８個交點(diǎn)，這８個交點(diǎn)自然把第２個長方形分成８段（有直的、有彎的），每段把原先的部分又多分出一個部分，新增８個，所以２ ＋ ８ ＝ １０（個部分）.

第３個長方形的每條邊現(xiàn)在可以掛到原有２個長方形的８個角，最多可產(chǎn)生１６個交點(diǎn)，同理這１６個交點(diǎn)把第三個長方形本身分成１６段，每段穿過一個部分，又新增加１６個部分，共２ ＋ ８ ＋ １６ ＝ ２６（個部分）.

第４個長方形的每條邊現(xiàn)在可以掛到原有３個長方形的１２個角，最多可產(chǎn)生２４個交點(diǎn)，同理這２４個交點(diǎn)把第四個長方形本身分成２４段，每段穿過一個部分，又新增加２４個部分，共２ ＋ ８ ＋ １６ ＋ ２４ ＝ ５０（個部分）.

這樣我們就可以通過對上面的幾個特殊的情況的分析，猜想出ｎ個長方形最多可以把平面分成２ ＋ ｎ × （ｎ － １） × ４.

其實(shí)，我們還可以繼續(xù)思考，如果把長方形改為三角形，那么ｎ個三角形可以把平面最多分成２ ＋ ｎ × （ｎ － １） × ３；改成五邊形，ｎ個五邊形可以把平面最多分成２ ＋ ｎ × （ｎ － １） × ５，那么如果是ｎ個ｍ邊形時，這ｎ個ｍ邊形最多可以把平面分成２ ＋ ｎ × （ｎ － １） × ｍ.

本題的解法采用了歸納猜想. 歸納法是用特殊事例去推測一般原理的方法，這一方法為解決比較難的習(xí)題提供了一條較好的入手角度.

（三）數(shù)學(xué)猜想是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的一方藥劑

牛頓說：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn). ”數(shù)學(xué)猜想是數(shù)學(xué)教學(xué)過程中發(fā)展學(xué)生創(chuàng)造性思維的重要方法，也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的一個載體.

數(shù)學(xué)猜想的過程就是從觀察事物的表象到揭示事物本質(zhì)的過程，是特殊到一般，再從一般到特殊過渡的過程.

例６ 將ｐｉｚｚａ餅切成一塊塊的．那么一定數(shù)量的刀數(shù)，就可產(chǎn)生一個最多的塊數(shù)，請問：你是否也想操刀一試身手？是否也想知道其中的奧妙？你能回答平面上的ｎ條直線最多可以把平面分成幾部分嗎？

我們不妨用圖示去思考這個問題

由上圖可以看出，１刀、２刀、３刀、４刀、５刀時對應(yīng)的最多塊數(shù)是２，４，７，１１，１６，根據(jù)這些數(shù)字的特征，我們可以得到２ ＝ １ ＋ １ ＝ （１ × ２） ÷ ２ ＋ １，４ ＝ ３ ＋ １ ＝ （２ × ３） ÷ ２ ＋ １，７ ＝ ６ ＋ １ ＝ （３ × ４） ÷ ２ ＋ １，１１ ＝ １０ ＋ １ ＝ （４ × ５） ÷ ２ ＋ １，１６ ＝ 15 + 1 =（５ × ６） ÷ ２ ＋ １，那么當(dāng)我們切ｎ刀的時候，ｐｉｚｚａ餅的最多塊數(shù)是ｎ（ｎ ＋ １） ÷ ２ ＋ １.

這樣，我們聯(lián)系到平面上的ｎ條直線最多可以把平面分成幾部分的問題，只要向?qū)W生說明這些ｎ條直線不平行，而且沒有任何三條直線交于同一點(diǎn)，此時平面上的ｎ條直線最多可以把平面分成幾部分就是將ｐｉｚｚａ餅切成一塊塊的刀數(shù)和產(chǎn)生的最多塊數(shù)的問題了.

這樣的問題，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生探索問題，解決問題的能力，也培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新思維.

（四）利用數(shù)學(xué)猜想解題是中考數(shù)學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)

利用數(shù)學(xué)猜想去解中考數(shù)學(xué)題，已經(jīng)成為了中考的重要內(nèi)容，也是今后中考的發(fā)展方向. 寧波市的歷年中考，全國各地的中考數(shù)學(xué)，都有數(shù)學(xué)猜想應(yīng)用的考題，因?yàn)檫@類題目不但可以考查學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識和分析、解決問題的能力，還可以考查學(xué)生的應(yīng)用問題的能力以及學(xué)生的創(chuàng)新思維的程度，這就給既是會考性質(zhì)又是選拔性質(zhì)的中考提供了普通高中選拔人才的方式.

例７ （２００８年寧波市中考２６）如圖１，把一張標(biāo)準(zhǔn)紙一次又一次對開，得到“２開”紙、“４開”紙、“８開”紙、“１６開”紙……．已知標(biāo)準(zhǔn)紙的短邊長為a．

（１）如圖２，把這張標(biāo)準(zhǔn)紙對開得到的“１６開”紙按如下步驟折疊：

第一步：將矩形的短邊AB與AD長邊對齊折疊，點(diǎn)B落在AD上的點(diǎn)B′處，鋪平后得折痕AE；

第二步：將長邊AD與折痕AE對齊折疊，點(diǎn)D正好與點(diǎn)E重合，鋪平后得折痕AF．

則AD ∶ AB的值是，ＡＤ，ＡＢ的長分別是， ．

（２）“２開”紙、“４開”紙、“８開”紙的長與寬之比是否都相等？若相等，直接寫出這個比值；若不相等，請分別計算它們的比值．

（３）如圖３，由８個大小相等的小正方形構(gòu)成“L”型圖案，它的四個頂點(diǎn)Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分別在“１６開”紙的邊ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ上，求ＤＧ的長．

（４）已知梯形MNPQ中，MN∥PQ，∠M = 90°，MN = MQ = 2PQ，且四個頂點(diǎn)M，N，P，Q都在“４開”紙的邊上，請直接寫出２個符合條件且大小不同的直角梯形的面積．

例８ （２００９年寧波市中考２１）（１）如圖１，把等邊三角形的各邊三等分，分別以居中那條線段為一邊向外作等邊三角形，并去掉居中的那條線段，得到一個六角星，則這個六角星的邊數(shù)是 .

（２）如圖２ ，在 網(wǎng)格中有一個正方形，把正方形的各邊三等分，分別以居中那條線段為一邊向外作正方形，去掉居中的那條線段，請把得到的圖畫在圖３中，并寫出這個圖形的邊數(shù).

（３）現(xiàn)有一個正五邊形，把正五邊形的各邊三等分，分別以居中的那條線段為邊向外作正五邊形，并去掉居中的那條線段，得到的圖的邊數(shù)是多少？

例９ （２０１０年寧波市初三畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試數(shù)學(xué)試題２５）18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了簡單多面體中頂點(diǎn)數(shù)（Ｖ）、面數(shù)（Ｆ）、棱數(shù)（Ｅ）之間存在的一個有趣的關(guān)系式，被稱為歐拉公式. 請你觀察下列幾種簡單多面體模型，解答下列問題：

（１）根據(jù)上面多面體模型，完成表格中的空格：

你發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)數(shù)（Ｖ）、面數(shù)（Ｆ）、棱數(shù)（Ｅ）之間存在的關(guān)系式是_______________.

（２）一個多面體的面數(shù)比頂點(diǎn)數(shù)大８，且有３０條棱，則這個多面體的面數(shù)是______________.

（３）某個玻璃飾品的外形是簡單多面體，它的外表面是由三角形和八邊形兩種多邊形拼接而成，且有２４個頂點(diǎn)，每個頂點(diǎn)處都有３條棱，設(shè)該多面體外表三角形的個數(shù)為ｘ個，八邊形的個數(shù)為ｙ個，求ｘ ＋ ｙ的值.

中考數(shù)學(xué)中出現(xiàn)應(yīng)用數(shù)學(xué)猜想解題已經(jīng)是一種常態(tài)，而且我們觀察歷年的初中數(shù)學(xué)競賽題，沒有一份試卷不出現(xiàn)利用猜想進(jìn)行思考、解答的題目，因此重視對學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想解題的培養(yǎng)，也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱的要求，而且我們可以在平時的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)教材里利用數(shù)學(xué)猜想解題的內(nèi)容是有相當(dāng)量的篇幅.

總之，數(shù)學(xué)猜想在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)中意義重大，作為數(shù)學(xué)教師，不僅要利用好教材中有關(guān)數(shù)學(xué)猜想的內(nèi)容，還應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對數(shù)學(xué)猜想方面的知識、能力的培養(yǎng)，努力去激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)展他們的創(chuàng)新思維，這也是人才開發(fā)和培養(yǎng)的重要一環(huán).

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文