在“求同”和“求異”中培養(yǎng)數(shù)學思維能力

隨著課程改革的深入，中學數(shù)學教學取得了可喜的成績. 但有許多教師在日常教學中過分重視知識技能目標的達成，而忽視學生對數(shù)學的感受和體驗；還有許多教師過于強調(diào)對定義、公式、法則、定理的灌輸與記憶，忽視了數(shù)學知識的發(fā)生與發(fā)展，應用過程的揭示與解釋，沒有將知識中蘊含的豐富思想方法進行抽象和概括，更沒有將這一過程中豐富的思維訓練因素挖掘出來. 雖然教師有時強調(diào)對問題一招一式、一題一解、一法一題思維方法的討論，但也只停留于個別問題的解決和定式套路的總結(jié)，輕視思路分析，忽視解題的思維過程，不能將具體的知識和個別的數(shù)學方法上升到揭示方法的實質(zhì)、培養(yǎng)學生思維能力的高度.我們必須改變現(xiàn)狀，為培養(yǎng)學生的思維能力而教，為學生智慧的生成而教. 可以根據(jù)每節(jié)課、每個教學環(huán)節(jié)內(nèi)容的不同，選擇恰當?shù)慕虒W方法，在教學生學習基礎知識和掌握基本技能的同時，通過看、想、說、做等環(huán)節(jié)，讓學生體驗數(shù)學的思維方式和方法，培養(yǎng)學生的思維能力，形成良好的思維品質(zhì). 運用比較、分類等方法，進行“求同”和“求異”教學，對培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力，提高數(shù)學教學質(zhì)量，是十分有效的.

一 、在概念法則的形成過程中，通過“求同”和“求異”培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力

在學習數(shù)學新概念、研究新對象的過程中，可以應用比較的方法，引導學生在溫習舊知識的過程中探索新知識. 在一定階段學習后，還可在比較的基礎上對已學的某一部分知識做分類梳理，在比較和分類中，使學生的數(shù)學思維能力得到培養(yǎng).

學生學習每個概念的標準形式時，引導他們發(fā)現(xiàn)每個概念擁有的相同點，即都有條件的限制. 如一元二次方程ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０中一定要有ａ ≠ ０這個條件，若沒有就要考慮分類討論了，正比例函數(shù)ｙ ＝ ｋｘ中一定要有ｋ ≠ ０等. 這里學生最容易出錯，如果學生掌握了用類比的方法找出其異同，就會對這個條件有深刻的印象.

在研究正、反比例函數(shù)性質(zhì)時，學生通過自己找出增減性的不同，區(qū)別它們的異同，自然對“在每個象限內(nèi)”這句話的含義理解深刻. 再比如，在學習一元二次方程和二次函數(shù)的配方法時，通過類比方法讓學生找出異同，進而對一元二次方程和二次函數(shù)有較好的掌握.

學生通過對對象的相同點和異同點的比較，識別對象之間的異同后進行分類，根據(jù)共同點將研究對象歸為較大的類，根據(jù)差異點，將研究對象分為較小的類（反比例函數(shù)性質(zhì)中要注意在每個象限內(nèi)，配方法的異同等），從而將事物區(qū)分為具有一定從屬關(guān)系的不同等級系統(tǒng)，進而達到培養(yǎng)學生思維能力的目的.

二、在數(shù)學語言的錘煉中，通過“求同”和“求異”培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力

漢語言博大精深，數(shù)學語言也豐富多彩. 《上海市中小學數(shù)學課程標準》中就明確了培養(yǎng)學生運用數(shù)學語言能力的目標：“感受、體驗文字語言、符號語言和圖形語言的轉(zhuǎn)譯過程，具有基本的數(shù)學語言素養(yǎng)；能運用數(shù)學語言和普通語言，條理分明地、闡述自己的思想和觀點，與他人進行交流和溝通”. 如何通過數(shù)學語言表達能力的提高，促進學生思維能力的發(fā)展呢？我在教學中充分利用不同的數(shù)學語言去表達相同的意思，用類似的表述但意義不同. 這種“同中求變”的思維訓練方式不僅培養(yǎng)了學生數(shù)學語言的表達能力，還幫助他們明晰了概念，更促進了創(chuàng)新能力的提高. 下面是我在這方面進行實踐的一些例子.

如在函數(shù)教學進行了一段時間以后，讓學生思考“過某一點”的不同的數(shù)學語言表述，可以提升和豐富學生的數(shù)學語言理解能力. 通過調(diào)動學生思維，在集思廣益的課堂中共同總結(jié)出以下幾種表達方式：（１）函數(shù)過點（ａ，ｂ）. （２）函數(shù)當ｘ ＝ ａ時 ，ｙ ＝ ｂ.（３）點（ａ，ｂ）在函數(shù)的圖像上.（４）兩個函數(shù)交于點（ａ，ｂ）.（5）某點到ｘ軸距離為ｂ，到ｙ軸距離為ａ，則過點（±ａ，±ｂ）. 還可以通過面積，平行，與ｘ軸ｙ軸交點等來表述函數(shù)過某點等. 雖然文字表達不同，但都表示某函數(shù)過點（ａ，ｂ），意思都是在表達式中把ｘ換成ａ，ｙ換成ｂ后得到一個方程或等式.

在“求異”中教學，讓學生進行積極有效的互評. 通過互評，使學生產(chǎn)生一種強烈的求變、求異、與眾不同的欲望，促進了學生數(shù)學思維能力的發(fā)展.

三、在解題過程的探究中，通過“求同”和“求異”培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力

解數(shù)學題不能只為解題而解題，應通過解題達到鞏固知識、掌握技能、學會方法去積累體驗的目的，然而這只是解題的初級目標，應提出更高的目標，升華知識，豐富技能，拓展能力，精深理念. 教學過程先是對圖形的識別、判斷、直覺，從圖形分解、組合中進行類比、聯(lián)想，建立解題思路，接著對解題思路的每一步進行嚴密的論證. 因此，必須強調(diào)課后思考，問題引申，這樣才能從根本上走出“解題不少，吸收不好，長進不了”的怪圈.

解題中“求同”與“求異”的主要方式有：一題多解，一題多問，一題多變，多題一法等.

１． 一題多解

一題多解是發(fā)展學生智能，培養(yǎng)創(chuàng)新意識、創(chuàng)新能力的好方法，我們可以從多種角度、用多種知識、多種技能、多種思維，去探求解題途徑.

例如：在△ＡＢＣ中，已知Ｄ在ＢＣ上，ＢＤ ∶ ＤＣ ＝ １ ∶ ２，Ｅ為ＡＤ中點，延長ＢＥ交ＡＣ于Ｆ，求：ＡＦ ∶ ＦＣ的值.

這是在學習平行線截線段成比例定理時的一類典型題目，可以作為基本圖形在其他題目中應用，但學生對于變式的題目又一時難以入手. 通過研究發(fā)現(xiàn)，我們可以引導學生：一是發(fā)現(xiàn)圖中沒有平行線，需要作平行線，二是思考平行線作好以后要滿足什么條件，三是考慮什么樣的點作平行線更簡單. 第一次教學的第一課時，課堂上只解決了八種做法，課后作為作業(yè)，要求學生過每一點都要至少作兩種平行線. 第二課時，在師生共同努力下終于找到了一定的規(guī)律：六個點中有三個比較簡單，這三個點是已知兩個線段比的公共點（Ｄ），已知線段比與未知線段比的公共點（Ａ和Ｃ）. 二是做好平行線以后至少要構(gòu)造出兩個基本圖形. 三是作好平行線后要會轉(zhuǎn)移比，并發(fā)現(xiàn)類似圖形是有四條線段的比，只要知道兩個比，其他線上的兩個比就可求了. 那么，容易作平行線的三個點叫什么呢？同學風趣地說叫“好點”，另外三個點呢？學生說：“當然是不好點啰！”

本題有二十幾種方法，通過進一步學習，學生在教師引導下發(fā)現(xiàn)還有面積法和用其他定理等多種解法. 可見，一題多解對不同層次的同學均有啟發(fā)，可促進基礎知識、基本技能的融會貫通，可提升解題思路和提高想象能力，只要思想充分開放，對題意思考得愈廣泛. 愈深刻，獲得的思路就會愈廣闊、愈清晰，相應的解法也就愈多. 學生通過對比分析，找出了問題的本質(zhì)特征，并總結(jié)出了相應的思路和方法，從而培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力.

２． 一題多問

法國作家巴爾扎克說：打開一切科學的鑰匙都毫無疑問的是問號，我們大部分的偉大發(fā)現(xiàn)都應歸功于“如何”，而生活的智慧大概就在于逢事都問個“為什么”. 一題多問有多種形式，一是就本題的條件和要求要多問幾個為什么，什么情況可能出現(xiàn)，什么情況不可能發(fā)生，對它們之間要發(fā)問，對條件與結(jié)果之間的聯(lián)系也要發(fā)問，通過發(fā)問，對數(shù)學問題進行由此及彼，由表及里的思考和想象，有益于培養(yǎng)學生的思維能力，達到創(chuàng)新的目的. 二是一種題目，多出幾個問題要求來解答，通過多個問題的解答，總結(jié)出此類問題的本質(zhì)特征.

例如：如圖銳角三角形ＡＢＣ，以ＡＢ，ＡＣ為邊向外作正方形ＡＢＧＦ和正方形ＡＣＤＥ，連接ＥＦ.

（１）求證：Ｓ△ＡＢＣ ＝ Ｓ△ＡＥＦ.

（２）若ＡＩ⊥ＢＣ于Ｉ，延長ＩＡ交ＥＦ于Ｈ，求證：ＦＨ＝ＨＥ.

（３）Ｏ是ＢＣ中點，ＯＡ延長后交ＥＦ于Ｐ，求證：ＡＰ⊥ＥＦ.

（４）求證：ＥＦ ＝ ２ＯＡ.

（５）若Ｈ是ＥＦ中點，求證：ＡＩ⊥ＢＣ.

（６）若ＡＰ⊥ＥＦ，判斷：Ｏ一定是ＢＣ的中點嗎？

通過一個圖形的多個問題的解答，讓學生充分領(lǐng)會圖形的本質(zhì)特征，把握兩個正方形與相應線段所構(gòu)成的圖形的規(guī)律，并對其他的基本圖形、基本關(guān)系有進一步了解，從而使學生養(yǎng)成從不同問題中找出其共性，從而掌握本質(zhì)的思維習慣. 這非常有助于學生養(yǎng)成良好的思維素養(yǎng)，學會分析和綜合思考問題.

３． 一題多變

由一個基本問題出發(fā)，運用類比、聯(lián)想、特殊比、一般化的思維方法，探討問題的發(fā)展變化，發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，在異同中培養(yǎng)思維的組織性、批判性和深刻性，變中求進，進中求通，是學習平面幾何的“妙”方法.

例如：Ｍ是正方形ＡＢＣＤ的邊ＡＢ上的中點，ＭＮ⊥ＤＭ與∠ＡＢＣ外角的平分線交于Ｎ，求證：ＭＤ ＝ ＭＮ.

變式 １：Ｍ是邊ＡＢ上任意一點，ＭＮ⊥ＤＭ與∠ＡＢＣ的外角平分線交于點Ｎ，求證ＤＭ ＝ ＭＮ.

變式 ２：Ｍ是邊ＡＢ延長線上一點，變式１中的結(jié)論還成立嗎？

變式 ３：Ｍ是邊ＡＢ的反向延長線上一點，上述結(jié)論還成立嗎？

變式 ４：Ｍ為正方形ＡＢ邊所在直線上的一點，ＤＭ⊥ＭＮ與∠ＡＢＣ外角的平分線交于Ｎ，求證：ＤＭ ＝ ＭＮ.

變式 ５：Ｍ是正三角形ＡＢＣ邊ＢＣ所在直線上的任意一點（Ｃ點除外），作∠ＡＭＮ ＝ ６０°，射線ＭＮ與∠ＡＣＢ外角的平分線交于Ｎ，求證ＡＭ ＝ ＭＮ.

通過一題多變，引導學生解題后反思，多問幾個為什么，這樣進行發(fā)散思維，比只解一個問題有更多的收獲. 從變式１到變式５，充分說明了這一點. 通過一題多變，研究輔助線作法的異同，使學生對添加此類輔助線有了較深刻的理解. 正如著名數(shù)學科學家伯利亞曾形象指出那樣，“好問題同某種蘑菇有些相像，他們都成堆地生長，找到一個以后，你應當在周圍找一找，很可能附近就有好幾個”，以上的問題不就是如此嗎？

４． 多題一法

由于學生自身以及學科知識的差異，不是所有的學生都能通過一、兩個題目解決所有問題，不是所有的知識通過一次訓練都能融會貫通的，有些內(nèi)容可以通過多題一法的訓練，來達到最有效地讓學生逐步掌握數(shù)學知識、思想和方法的目的. 例如：

問題１． 如圖１，等腰直角三角形ＡＢＣ中，∠Ａ ＝ ９０°，一個４５°角的頂點與Ａ點重合，另兩邊交ＢＣ于點Ｄ，Ｅ，求證：ＤＥ２ ＝ ＢＤ２ ＋ ＣＥ２.

問題４：如圖４，△ＡＢＣ中，Ｄ是ＢＣ邊中點，Ｅ在ＡＢ上，Ｆ在ＡＣ上，∠ＥＤＦ ＝ ９０°，ＢＥ２ ＋ ＦＣ２ ＝ ＥＦ２，求證：∠ＢＡＣ ＝ ９０°.

首次接觸這類題目時學生很陌生，可以用一道題的解題規(guī)律作為媒介，讓學生聯(lián)想到其他題目的解題規(guī)律. 從不同的圖形和不同的表達方式中找出共同點，是培養(yǎng)學生對新題型的了解、熟悉、應用的必要手段，也是培養(yǎng)學生歸納出問題本質(zhì)的“巧”方法. 在上例中，可以逐步總結(jié)出在什么條件下利用旋轉(zhuǎn)的方法將分散的已知條件集中在一起，讓已知和未知建立聯(lián)系，并逐步總結(jié)出它們相同點：（１）旋轉(zhuǎn)前后圖像的形狀相同，大小不變. （２）對應線段相等，對應角相等. （３）對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等. （４）圖形中每一點都繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了相等的角度，這樣學生就知道了類似的題目可以用旋轉(zhuǎn)的方法解答.

數(shù)學教育的基本目標之一是在傳授知識的同時，發(fā)展和培養(yǎng)學生的數(shù)學能力. 衡量數(shù)學教學是否有成效，關(guān)鍵之一是看能否提高學生的數(shù)學思維能力. 中學生應當具有較高的理性思維能力，數(shù)學思維能力在其中起著獨特的作用. 也就是說，讓學生不斷地經(jīng)歷歸納類比、符號表示、演繹證明、抽象概括、反思建構(gòu)等思維過程，培養(yǎng)學生形成嚴謹?shù)睦硇缘乃季S. 學生在學習中觀察、比較、分析、綜合、抽象和概括，學會類比、歸納、演繹和進行推理以及會準確闡述自己的觀點，進而形成良好的思維品質(zhì)，才能適應社會發(fā)展的需要.

在數(shù)學教學中，通過“求同”和“求異”來培養(yǎng)中學生的思維能力是非常有效的方法. 教師在特定的環(huán)境中，運用比較、分類的方法通過對教材、教法巧安排，對問題妙引導，讓學生多和創(chuàng)新能力的一代新人.

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