“化歸大法”妙用“梯形問題”巧解

【摘要】 由于在解決梯形的問題時，時常要通過對梯形的分割拼接或圖形變換，將問題轉(zhuǎn)化為三角形或平行四邊形的問題來解決，這就是我們經(jīng)常用到的化未知為已知的數(shù)學思想——化歸法.

【關(guān)鍵詞】 化歸法；解題；梯形

方法１：平移梯形的一腰

從梯形的一個頂點，作一腰的平行線，把梯形分成平行四邊形和三角形．

例１ 已知梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ ＝ ３ ｃｍ，ＢＣ ＝ ５ ｃｍ，ＡＢ ＝ ４ ｃｍ，求另一腰ＣＤ的取值范圍．

解 如圖示，過Ｄ點作ＤＥ∥ＡＢ，交ＢＣ于Ｅ點．

∵ ＡＤ∥ＢＣ，ＤＥ∥ＡＢ，

∴四邊形ＡＢＥＤ是平行四邊形

∴ ＤＥ ＝ ＡＢ ＝ ４（ｃｍ），ＢＥ ＝ ＡＤ ＝ ３（ｃｍ），

∴ ＣＥ ＝ ＢＣ － ＢＥ ＝ ５（ｃｍ） － ３（ｃｍ） ＝ ２（ｃｍ）.

∵ 在△ＤＥＣ中，ＤＥ － ＥＣ ＜ ＤＣ ＜ ＤＥ ＋ ＥＣ

∴ ２ ｃｍ ＜ ＤＣ ＜ ６ ｃｍ．

同步練習：梯形的上底長為５ ｃｍ，將一腰平移到上底的另一端點位置后與另一腰和下底所構(gòu)成的三角形的周長為２０ ｃｍ，那么梯形的周長為＿＿＿＿＿＿＿．

方法２：作高法

從同一底的兩個端點分別作梯形的高，把梯形分成一個矩形和兩個直角三角形．

例２ 如圖示，在等腰梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ ＝ ＣＤ，

∠ＡＢＣ ＝ ６０°，ＡＤ ＝ ３ ｃｍ，ＢＣ ＝ ５ ｃｍ.

求：（１）腰ＡＢ的長；

（２）梯形ＡＢＣＤ的面積．

解 作ＡＥ⊥ＢＣ于點Ｅ，ＤＦ⊥ＢＣ于點Ｆ，

又 ∵ ＡＤ∥ＢＣ，

∴四邊形ＡＥＦＤ是矩形，∴ ＥＦ ＝ ＡＤ ＝ ３（ｃｍ），

同步練習：等腰梯形的腰長為５ ｃｍ，上、下底的長分別為６ ｃｍ和１２ ｃｍ，則它的面積為＿＿＿＿＿＿＿．

方法３：延長腰

延長梯形的兩腰交于一點，得到兩個三角形．

例３ 已知，如圖示：梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，∠Ｂ ＝ ∠Ｃ，求證：四邊形ＡＢＣＤ是等腰梯形．

證明 如圖，分別延長ＢＡ、ＣＤ，設(shè)它們交于Ｅ點．

∵在△ＥＢＣ中，∠Ｂ ＝ ∠Ｃ，∴ ＥＢ ＝ ＥＣ.

∵ ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＥＡＤ ＝ ∠Ｂ，∠ＥＤＡ ＝ ∠Ｃ，而∠Ｂ ＝ ∠Ｃ，

∴在△ＥＡＤ中，∠ＥＡＤ ＝ ∠ＥＤＡ，

∴ ＥＡ ＝ ＥＤ，∴ ＡＢ ＝ ＤＣ，即四邊形ＡＢＣＤ是等腰梯形．

同步練習：在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，∠Ｂ ＝ ５０°，∠Ｃ ＝ ８０°，ＡＤ ＝ ８，ＢＣ ＝ １２，則ＣＤ ＝ ＿＿＿＿＿＿＿．

（提示：延長梯形兩腰交于一點，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可得兩個等腰三角形，然后易得結(jié)論）

方法４：平移對角線

過底的一端作對角線的平行線，從而借助所得的平行四邊形或三角形來研究梯形.

例４ 已知：梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ ＝ １，ＢＣ ＝ ４，ＢＤ ＝ ３，ＡＣ ＝ ４，求梯形ＡＢＣＤ的面積．

解 如圖，作ＤＥ∥ＡＣ，交ＢＣ的延長線于Ｅ點．

∵ ＡＤ∥ＢＣ，

∴四邊形ＡＣＥＤ是平行四邊形，

∴ ＢＥ ＝ ＢＣ ＋ ＣＥ ＝ ＢＣ ＋ ＡＤ ＝ ４ ＋ １ ＝ ５，ＤＥ ＝ ＡＣ ＝ ４.

∵在△ＤＢＥ中， ＢＤ ＝ ３，ＤＥ ＝ ４，ＢＥ ＝ ５，

∴ ∠ＢＤＥ ＝ ９０°．

同步練習：已知等腰梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＣ⊥ＢＤ，ＡＤ ＋ ＢＣ ＝ １２，ＤＥ是等腰梯形的高．求等腰梯形ＡＢＣＤ的面積.

方法５：以梯形一腰的中點為對稱中心作某部分圖形的對稱圖形

例５ 已知：梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，Ｅ為ＤＣ中點，ＥＦ⊥ＡＢ于Ｆ點，ＡＢ ＝ ４ ｃｍ，ＥＦ ＝ ５ ｃｍ，求梯形ＡＢＣＤ的面積．

解 如圖，過Ｅ點作ＭＮ∥ＡＢ，分別交ＡＤ的延長線于Ｍ點，交ＢＣ于Ｎ點．

∵ ＤＥ ＝ ＥＣ，ＡＤ∥ＢＣ，

∴ △ＤＥＭ≌△ＣＮＥ.

四邊形ＡＢＮＭ是平行四邊形.

∵ ＥＦ⊥ＡＢ，∴Ｓ梯形ＡＢＣＤ ＝ Ｓ?荀ＡＢＮＭ ＝ ＡＢ × ＥＦ ＝ ２０（ｃｍ２）．

同步練習：已知：如圖示，在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ⊥ＢＣ，Ｅ是ＣＤ中點，試問：線段ＡＥ和ＢＥ之間有怎樣的大小關(guān)系？

（提示：延長ＡＥ，與ＢＣ延長線交于點Ｆ．利用推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得結(jié)論）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文