淺談數形結合在初中數學教學中的應用

【摘要】 數與形是世界上萬事萬物共同存在的形式. 數與形這兩個基本概念是數學的兩塊基石. 二者珠聯璧合，借助圖形可將許多抽象的數量關系形象化，簡單化，直觀化. 將圖形轉化為代數問題可獲得更加精確的結論. 本文將從以下幾個方面說明數形結合在初中數學教學中的應用.

【關鍵詞】 數形結合；抽象；直觀；快速精確

數與形在內容上互相聯系，方法上互相滲透，在一定條件下互相轉化. 正如華羅庚說：“數形結合百般好，隔離分家萬事休，幾何代數統一體，永遠聯系莫分離. ”

一、代數問題用幾何方法解決.

數與形在一定條件下是可以互相轉化的，借助幾何圖形可以使代數問題更簡單，直觀化.

例１ 一次函數ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｂ的圖像過Ａ（２，０），Ｂ（０，３）兩點，則ｋｘ ＋ ｂ ＜ ０的解集是 （ ）.

Ａ. ｘ ＞ ０Ｂ. ｘ ＜ ０

Ｃ. ｘ ＞ ２Ｄ. x ＜ ２

方法一：由提意可知ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｂ的圖像是一條直線. 又經過Ａ（２，０），Ｂ（０，３）兩點. 畫圖為：要使ｋｘ ＋ ｂ ＜ ０即．ｙ ＜ ０. 由圖像可知，當x ＞ ２時，圖像位于x軸下方，對應的ｙ ＜ ０. 所以解集為x ＞ ２，故選Ｃ.

方法二：如果用代數方法來解此題，則需要把Ａ，Ｂ兩點的坐標分別帶入一次函數ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｂ解出ｋ，ｂ的值. 這樣就增加了計算量，也給學生解題帶來一些麻煩.

例２ 四張大小質地均勻相同的卡片上分別標有數字１，２，３，４，現將標有數字的一面朝下扣在桌面上，從中隨機抽取一張（不放回）再從桌面上剩下的三張中隨機抽取第二張. 計算抽得的兩張卡片上的數字之積為奇數的概率是多少？

解 由題意得：

分析 此類問題是能將圖形中的特點（如：開口﹑對稱軸﹑與ｘ軸有無交點），與解析式中的數值特征（如：不同變量的取值范圍）建立關系. 從而有效利用圖形轉化為不等式求解.

三、數形結合可使復雜的問題簡單化.

巧妙應用數形結合的思想方法解決一些抽象的數學問題可起到事半功倍的效果.

例４ 求方程組y = x2 + 3x，y = 2x + 1的解的個數？

解函數y = x2 + 3x與函數ｙ ＝ ２ｘ ＋ １的圖像如下：根據圖像的交點個數就可以判定方程組的解的個數為２.

分析 用代數方法來解此題就要采用消元的思想，即得x2 + 3x = 2x + 1變形得x2 + x - 1 = 0．再根據根的判別式△＝b2 - 4ac得△＝５即△ ＞ ０. 所以方程組有兩個不同的根，所以方程組的解的個數為２. 這樣就比較復雜，沒有圖形直觀易懂.

總之數形結合是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維與形象思維結合. 發揮數與形的優勢互補作用. 巧妙應用數形結合能避免復雜的推理與計算. 能節約解題的時間，能起到事半功倍的效果.

【參考文獻】

［１］義務教育課程標準實驗教科書《數學》 八年級.

［2］義務教育課程標準實驗教科書《數學》九年級.

［3］啟航新課堂《數學》.吉林教育出版社.

［4］人教版教科書《數學》高一.

［5］１９４０年出版過一本名為《畢達哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文