淺談數(shù)學(xué)思想方法的教與學(xué)

數(shù)學(xué)思想就是對(duì)數(shù)學(xué)理論和內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)；數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體化形式。中學(xué)數(shù)學(xué)大綱已明確提出數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的重要組成部分。筆者結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)踐，淺談對(duì)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的幾點(diǎn)思考。

一、數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的原則

（一）在解題教學(xué)中，要自覺(jué)應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法

每一道數(shù)學(xué)題都有一定的數(shù)學(xué)內(nèi)容，它們都是一定的數(shù)學(xué)思想方法的具體形式，尋求已知與未知之間的聯(lián)系—解題，表面上是具體數(shù)學(xué)形式的連續(xù)轉(zhuǎn)化、邏輯溝通，但在過(guò)程探索、方法選擇和思路發(fā)現(xiàn)的背后，在進(jìn)行每一步簡(jiǎn)化、轉(zhuǎn)化、分解與化歸之前，都有數(shù)學(xué)思維方向的調(diào)控，實(shí)質(zhì)上是對(duì)題目中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法的不斷顯化與橫向溝通。由于同一數(shù)學(xué)形式可以用不同的數(shù)學(xué)思想方法來(lái)解釋，因而產(chǎn)生不同原理的“一題多解”；同樣，同一數(shù)學(xué)思想方法可以有不同的表現(xiàn)形式，因而產(chǎn)生不同題目的“一解多題”。又由于對(duì)數(shù)學(xué)思想方法有理解深淺上的差異和溝通寬窄上的不同，因而既產(chǎn)生解題上的清醒與盲目、簡(jiǎn)捷與麻煩，又導(dǎo)致解題的會(huì)不會(huì)推廣與能不能引申，所謂“用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)解題”，就是要揭示題目?jī)?nèi)容與求解方法中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法，自覺(jué)從數(shù)學(xué)思想方法的高度去理解題意、去尋找思路、去分析解題過(guò)程、去擴(kuò)大解題成果，使得解題的過(guò)程既是運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的過(guò)程，又是領(lǐng)悟和提煉數(shù)學(xué)思想方法的過(guò)程。

（二）把知識(shí)的學(xué)習(xí)與思想方法的培養(yǎng)同時(shí)納入教學(xué)目的原則

適當(dāng)章節(jié)的強(qiáng)化訓(xùn)練與貫通復(fù)課全程的反復(fù)運(yùn)用相結(jié)合的原則數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)知識(shí)的共存性、數(shù)學(xué)思想對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)的指導(dǎo)作用、被認(rèn)知的思想方法只有在反復(fù)的運(yùn)用中才能被真正掌握這一教學(xué)規(guī)律，都決定了成功的思想方法和教學(xué)只能是有意識(shí)的貫通復(fù)課全程的教學(xué)。特別是有廣泛應(yīng)用性的數(shù)學(xué)思想的教學(xué)更是如此。如數(shù)形結(jié)合的思想，在數(shù)學(xué)的幾乎全部的知識(shí)中，處處以數(shù)學(xué)對(duì)象的直觀表象及深刻精確的數(shù)量表達(dá)這兩方面給人以啟迪，為問(wèn)題的解決提供簡(jiǎn)捷明快的途徑。它的運(yùn)用，往往展現(xiàn)出”柳暗花明又一村”般的數(shù)形和諧完美結(jié)合的境地。在某種思想方法應(yīng)用頻繁的章節(jié)，應(yīng)適當(dāng)強(qiáng)化這種思想方法的訓(xùn)練。如在數(shù)學(xué)歸納法一節(jié)，應(yīng)精心設(shè)計(jì)循序漸進(jìn)的組題，在問(wèn)題解決中提煉并明確總結(jié)聯(lián)合運(yùn)用不完全歸納法、數(shù)學(xué)歸納法解題這一思想方法，在學(xué)生能熟練運(yùn)用的基礎(chǔ)上，通過(guò)反復(fù)運(yùn)用，才能形成自覺(jué)運(yùn)用的意識(shí)。

二、數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的途徑

（一）用數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)，在基礎(chǔ)復(fù)習(xí)中培養(yǎng)思想方法

基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)中要充分展現(xiàn)知識(shí)形成發(fā)展過(guò)程，揭示其中蘊(yùn)涵的豐富的數(shù)學(xué)思想方法。如幾何體體積公式的推導(dǎo)體系，集公理化思想、轉(zhuǎn)化思想、等積類比思想及割補(bǔ)轉(zhuǎn)換方法之大成，就是這些思想方法靈活運(yùn)用的完美范例。只有通過(guò)展現(xiàn)體積問(wèn)題解決的思路分析，并同時(shí)形成系統(tǒng)的條理的體積公式的推導(dǎo)線索，才能把這些思想方法明確地呈現(xiàn)在學(xué)生的眼前。學(xué)生才能從中領(lǐng)悟到當(dāng)初數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造思維進(jìn)程，這對(duì)激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造思維，形成數(shù)學(xué)思想，掌握數(shù)學(xué)方法的作用是不可低估的。注重知識(shí)在教學(xué)整體結(jié)構(gòu)中的內(nèi)在聯(lián)系，揭示思想方法在知識(shí)互相聯(lián)系、互相溝通中的紐帶作用。如函數(shù)、方程、不等式的關(guān)系，當(dāng)函數(shù)值等于、大于或小于一常數(shù)時(shí)，分別可得方程，不等式，聯(lián)想函數(shù)圖象可提供方程，不等式的解的幾何意義。運(yùn)用轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的思想，這三塊知識(shí)可相互為用。注意總結(jié)建構(gòu)知識(shí)體系中的教學(xué)思想方法，揭示思想方法對(duì)形成科學(xué)的系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，把握知識(shí)的運(yùn)用，深化對(duì)知識(shí)的理解等數(shù)學(xué)活動(dòng)中指導(dǎo)作用。如函數(shù)圖象變換的復(fù)習(xí)中，我把散見(jiàn)于二次函數(shù)、反函數(shù)、正弦型函數(shù)等知識(shí)中的平移、伸縮、對(duì)稱變換，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用化曲線間的關(guān)系為對(duì)應(yīng)動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系的轉(zhuǎn)化思想及求相關(guān)動(dòng)點(diǎn)軌跡的方法統(tǒng)一處理，得出圖象變換的一般結(jié)論。深化學(xué)生圖象變換的認(rèn)識(shí)，提高了學(xué)生解決問(wèn)題的能力及觀點(diǎn)。

（二）學(xué)思想方法指導(dǎo)解題練習(xí)

在問(wèn)題解決中運(yùn)用思想方法，提高學(xué)生自覺(jué)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的意識(shí)，注意分析探求解題思路時(shí)數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用。解題的過(guò)程就是在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下，合理聯(lián)想提取相關(guān)知識(shí)，調(diào)用一定數(shù)學(xué)方法加工、處理題設(shè)條件及知識(shí)，逐步縮小題設(shè)與題斷間的差異的過(guò)程。也可以說(shuō)是運(yùn)用化歸思想的過(guò)程，解題思想的尋求就自然是運(yùn)用思想方法分析解決問(wèn)題的過(guò)程。注意數(shù)學(xué)思想方法在解決典型問(wèn)題中的運(yùn)用。如解題中求二面角大小最常用的方法之一就是：根據(jù)已知條件，在二面角內(nèi)尋找或作出過(guò)一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到另一個(gè)面上的垂線，過(guò)這點(diǎn)再作二面角的棱的垂線，然后連結(jié)二垂足。這樣平面角即為所得的直角三角形的一銳角。這個(gè)通法就是在化立體問(wèn)題為平面問(wèn)題的轉(zhuǎn)化思想的指導(dǎo)下求得的。

其中三垂線定理在構(gòu)圖中的運(yùn)用，也是分析，聯(lián)想等數(shù)學(xué)思維方法運(yùn)用之所得。調(diào)整思路，克服思維障礙時(shí)，注意數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用。通過(guò)認(rèn)真觀察，以產(chǎn)生新的聯(lián)想；分類討論，使條件確切，結(jié)論易求；化一般為特殊，化抽象為具體，使問(wèn)題簡(jiǎn)化等都值得我們一試。分析、歸納、類比等數(shù)學(xué)思維方法，數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想是走出思維困境的武器與指南。用數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)知識(shí)、方法的靈活運(yùn)用，進(jìn)行一題多解的練習(xí)，培養(yǎng)思維的發(fā)散性，靈活性，敏捷性；對(duì)習(xí)題靈活變通，引伸推廣，培養(yǎng)思維的深刻性，抽象性；組織引導(dǎo)對(duì)解法的簡(jiǎn)捷性的反思評(píng)估，不斷優(yōu)化思維品質(zhì)，培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，批判性。對(duì)同一數(shù)學(xué)問(wèn)題的多角度的審視引發(fā)的不同聯(lián)想，是一題多解的思維本源。數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想的自覺(jué)運(yùn)用往往使我們運(yùn)算簡(jiǎn)捷、推理機(jī)敏，是提高數(shù)學(xué)能力的必由之路。“授之以魚(yú)，不如授之以漁”，方法的掌握，思想的形成，才能使學(xué)生受益終生。

因此，教師必須通過(guò)日常教學(xué)的滲透，知識(shí)的歸納概括，反復(fù)運(yùn)用，及時(shí)總結(jié)形成系統(tǒng)，切實(shí)加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。

（作者單位：江蘇靖江市靖城中學(xué)）