對帶電粒子在勻強磁場中運動問題的探究

一、確定圓心的三種基本方法

1.“中垂線法”軌道半徑未知，如果已知入射點及入射方向及出射點，可用“中垂線法”確定圓心位置。

如圖1a所示，一帶負電離子，以速度v垂直于界面S經過小孔O射入如圖所示的勻強磁場中，并能通過磁場中的P點。對于此類情況，其確定圓心的方法如下：

1）過O點作入射方向的垂線

2)作入、出射點連線OP的中垂線，則兩線的交點O'即為圓心（見圖1b）

2.“角平分線法” 軌道半徑未知，已知入射點、入射方向及出射方向，且已知入射方向與出射方向的交點，可用“角平分線法”確定圓心位置。

3.“量取法 軌道半徑已知，再知道入射點、入射方向或出射點、出射方向，可用“量取法”確定圓心。具體方法是：過入射點或出射點作入射方向或出射方向的垂線，在粒子所受洛倫茲力方向上量取距長的線段，對應的點即為帶電粒子做圓周運動的圓心。

二、探究策略

1.已知入射點、入射方向和出射方向

①已知帶電粒子的軌道半徑，用“量取法”確定圓心。

②如果帶電粒子的軌道半徑未知，其研究方向是：

由運動軌跡與邊界的交點關系，確定出射點的位置，由“中垂線法”確定出圓心的位置；確定入射方向與出射方向的交點位置，由“角平分線法”確定出圓心的位置。

例1 （04年甘肅等省、自治區高考理綜）一勻強磁場，磁場方向垂直于XY平面。在XY平面上，一個質量為m\\電荷量為q的帶電粒子，由原點開始運動，初速為v，方向沿X軸正方向。后來，粒子經過Y軸上的P，此時速度方向與Y軸的夾角為30°，P到O的距離為L，如圖3所示。不計重力的影響。

求：1）磁感應強度B的大小。

2）XY平面上圓形磁場區域的最小半徑R。

分析：對于本題而言，是一種典型的“角平分線”確定圓心的問題，其中O'M為∠OMP角平分線與Y軸的交點，則點O'為帶電粒子做圓周運動的圓心，過O'作PM的垂線，其交點P/即為帶電粒子射出區域的位置（見圖4），

至此容易求出磁感應強度B的大小和圓形磁場區域的最小半徑。

2.已知入射點及入射方向

①已知帶電粒子的軌道半徑，用“量取法”確定圓心。

②如果帶電粒子的軌道半徑未知，其研究方向是：

a.由運動軌跡與邊界的交點關系，確定出射點的位置，由“中垂線法”確定出圓心的位置；

b.確定入射方向與出射方向的交點位置由“角平分線法”確定出圓心的位置；

c.由運動軌跡與邊界的交點關系，尋找相關的邊角關系，為半徑、圓心角的求解構造相應的幾何關系。

例2 （07年寧夏試卷）在半徑為R的半圓形區域中有一勻強磁場，磁場的方向垂直于紙面，磁感應強度為B。一質量為m，帶有電量q的粒子以一定的速度沿垂直于半圓直徑AD方向經P點（AP=d）射入磁場（不計重力影響）。如果粒子經紙面內Q點從磁場中射出，出射方向與半圓在Q點切線方向的夾角為φ（見圖5）。求入射粒子的速度。

分析：在本題中，已知入射點及其運動方向，而出射方向未知，故無法運用三種基本方法或其組合來確定圓心的位置，但由出射方向與對應點切線夾角能構造出圖6所示的幾何關系。設O'是粒子在磁場中圓弧軌道的圓心，連接OQ，設O'Q=R'，由幾何關系得∠O'OP=φ。在圖中，O'O=R+R-d(1)

由余弦定理得：（O'O）2=R2+R2-2R'Rcosφ (2)

mv2/r=qvb(3)

解出v=qbd(2R-d)/2m [R(1+cosφ)-d]

3.已知入射點及出射方向

①軌道半徑，則在確定入射方向或出射點的位置后，由“量取法”確定圓心的位置。

②軌道半徑未知，其研究方向是：

a.由運動軌跡與邊界的交點關系，確定出射點的位置，由“中垂線法”確定出圓心的位置；

b.確定入射方向及其與出射方向的交點位置，由“角平分線法”確定出圓心的位置；

例3如圖7所示，坐標平面內第一象限，存在大小為E、方向水平向左的勻強電場，第二象限，存在大小為B，方向垂直紙面向里的勻強磁場。足夠長的擋板MN垂直X軸放置且距原點O為d。一質量為m、帶電量為-q粒子，（不計重力）若自距原點O為L的A點以大小為V0，方向沿Y軸的正方向的速度進入磁場，則粒子恰好到達O點而不進入電場。現該粒子仍從A點進入磁場，但初速度大小為2 V0，為使粒子進入電場后能以垂直于擋板MN的速度打在擋板上，求：

1）粒子在A點進入磁場時，其速度方向與X軸方向之間的夾角及達到擋板MN上的位置到X軸的位置。

2）粒子到達擋板上時的速度大小。

分析：本題為復合場問題，但其關鍵為帶電粒子在勻強磁場中的運動。顯然，此類問題屬于已知入射點及出射方向，并能求出帶電粒子的軌道半徑，由“量取法”可確定出圓心的兩個可能的位置，見圖8，至此問題就很容易得到解決。

（作者單位：江蘇省連云港開發區高級中學）