引導學生反思 提高學習效率

荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾說過：“反思是數學思維活動的核心和動力．”作為一名連續多年擔任高三數學教學的老師，我對此體會尤深，進入高三復習備考階段，如何引導學生進行課堂反思將是能否實現“減負、增效”，提高復習效率的關鍵環節．

元認知理論認為：數學學習中的自我監控能力是在學習過程中不斷對自己的數學思維活動進行反思和調節中實現的．數學是思維的體操，而且學生只有通過獨立活動才能獲得思維的鍛煉，其中，讓學生對課堂教學提出質疑，對自己的思考過程進行反思，從而找出和糾正自己的錯誤，是培養學生數學學習自我監控能力的關鍵措施．因此，教師必須對學生加強檢驗與反思習慣教育，引導學生對自身的學習活動進行回顧與反思，培養其反思的意識，提高他們的反思技能，從而促進學習效能．

在教學實踐中，教師應從哪些方面引導學生學會反思，培養學生反思的意識與能力呢？不妨關注以下幾個方面.

一、對高中數學基礎知識的認知反思

高中數學基礎知識包括重要的數學概念、公式、定理、性質，常用的解題策略、方法、技能等，這些重要的知識串起了整個高中數學，特別是數學概念和數學公式，無論哪一個方面沒學好，哪一個掌握不透徹，都會讓學生的學習進程受挫掉鏈子，所以教師要經常性地在課堂上引導學生對這些重要的基礎知識進行回顧和反思．

1.反思數學概念，理解數學本質

數學概念是反映事物在數量關系和空間形式上的本質特征的思維形式，具有高度抽象性，學生能把某個概念表述出來并不代表其已經掌握此概念，而是要真正理解概念的內涵和外延，否則就會產生錯誤．因此，教師在課堂上要有意識地帶領學生對概念進行回顧和反思，深刻理解概念的本質特征．

【案例1】 函數的值域是函數的三要素之一，單調性是函數的重要性質，而即便是高三學生對這兩者的理解仍存在問題．例如，考察某個三次函數的單調性，得到結論是函數的單調增區間為（-∞，x1］，［x2+∞)，減區間為(x1，x2)，但是總有一部分學生將函數的增區間寫成(-∞，x1］∪［x2，+∞)．講評時，教師首先在區間(-∞，x1］∪［x2，+∞)內選兩個值a和b，且a＜b，得到f(a)＞f(b)，讓學生對自己的答案產生質疑，進而引導學生從函數單調性的概念入手，反思自身“對于區間I內的任意兩個值x1，x2，當x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)”的理解是否到位，從而得到正確答案．在這之后的一次作業中，筆者發現一部分不求甚解的學生在回答某函數值域時，將正確答案（-∞，x1］∪［x2，+∞)，寫成(-∞，x1］［x2，+∞)．這其實還是學生對值域概念本質的不理解.通過反思，大家得到結論：值域是一個集合，是函數值的集合，所有函數值都在這個集合中，不在該集合中的值都不是這個函數的函數值．

在概念教學中，教師應引導學生積極反思，多問幾個為什么，也可以讓學生通過解決神似、貌似的問題，在犯錯中質疑、反思，用他們自己的思維方式去探索、研究，從而真正理解概念的本質．

2.反思數學公式，嚴謹推理過程

數學中公式、定理和結論的形成大致有兩種情況：一是經過觀察分析，歸納推理，提出猜想，而后進行邏輯證明；二是經由理論、演繹推理得出結論．因此引導學生回顧公式、定理、結論的發現過程，并對發現過程進行反思，對培養學生的創造能力、嚴謹意識有十分重要的意義．

【案例2】這幾年的高三第一輪復習資料《數學之友》上一直有一道題：求1+a+a2+…+an-1的和.每年都有相當一部分學生做錯．學生往往將之看成求首項為1，公比為a的等比數列前n項和，或者指出a=0時不是等比數列，但求和時又忽視a=1的情況．針對這一情況，筆者在今年的高三第一輪復習等比數列前n項和時，讓學生重新推導該求和公式，并不意外地發現學生將①式Sn=a1+a1q+a1q2+…a1qn-1減去②式qSn=a1q+a1q2+…a1qn-1+a1qn，迅速盲目地得出Sn=a1(1-qn)1-q

．此時筆者并不急于指出錯誤，而是提醒學生反思解題過程，重新審視和的求解過程的每一步，是否經得起推敲，而后得出正確結論

教學實踐證明，在公式產生過程中，單純地依賴教師作正確的闡述，并作正面的示范，而后讓學生做反復練習是不夠的，一定要讓學生在自身的思維加工中建立完整、清晰、準確的第一印象，否則這些常見錯誤是很難避免的．

二、對數學解題過程的回顧反思

在數學教育的研究中，波利亞認為數學問題解決應分為四個步驟：（1）理解問題；（2）擬定計劃；（3）實行計劃；（4）回顧解答．現實中的學生對解題往往缺少思維策略，以致不假思索地采取某種不恰當的方法或解題途徑，又不能及時對自己目前的處境作出清醒的評估，而是一條道上走到黑，直至鉆進死胡同．所以解題時，教師要啟發學生思考解題過程中自己是否很好地理解了題意？是否弄清了已知條件和問題之間的內在聯系，是否找到了解決問題的關鍵所在？每一步的推導或運算的依據是否充分？解題方法是否恰當？等等．這樣才有利于學生較快解決問題，進而提高自身的數學能力．

1.反思問題表征，尋找最佳策略

問題表征是問題解決初始階段，通過問題的表征，不僅達到對問題的理解，更重要的是要揭示問題中的矛盾所在，感知問題解決的困難所在，從而引領問題解決的方向，它對問題解決起著思維指向的作用．

【案例3】 設函數f(x)=1+-x2-2x，g(x)=-x+m，已知函數f(x)與函數g(x)的圖像有兩個不同的交點，求實數m的取值范圍．

圖1

分析：f(x)=g(x) ，即1+-x2-2x=-x+m（*）在區間［-2，0］上有兩個不等的實根，但參數m的取值范圍不易由化簡后的方程2x2+(4-2m)x+1-2m=0求得，思路受阻，必須轉換角度，重新審視（*）式．觀察結構特征，利用數形結合，已知函數f(x)表示方程為(x+1)2+(y-1)2=1(y≥1)的半圓，函數f(x)表示斜率為-1、縱截距為m的平行直線系，如圖1．

顯然，直線AB和以點P為切點的切線所對應的縱截距值為兩個臨界值，圓心坐標為（-1，1），半徑r=1，圓心到直線的距離d=|-1+1-m|2，所以m=±2（舍去負值），直線的縱截距為1，則要使函數f(x)與函數g(x)的圖像有兩個不同的交點的實數的取值范圍為［1，2］．

上例中，當學生將函數f(x)與函數g(x)的圖像有兩個不同的交點表征為方程1+-x2-2x=-x+m在區間［-2，0］上有兩個不等的實根，思維受阻，問題沒能解決，然后反思思維策略，將問題重新表征成直線和半圓有兩個不同的交點，數形結合，完成解答．

教師在解題教學中，要培養學生認真讀題的好習慣，通過讀題，明確問題的性質、基本結構、“條件”與“結論”等信息．學生學會反思問題表征、反思解題策略，從各種角度加深對問題的理解，從中發現最有助于找到解決辦法的表達方式．

2.反思分析過程，發掘隱含條件

由于隱含條件的非顯著性特征，學生對有些數學問題進行條件分析時，不能正確理解題意，這常常成為其解決問題道路上的攔路虎．

【案例4】 已知x2+2y2=8x，求x2+y2的最小值．

錯解1:將條件變形為y2=4x-12x2，并代入所求關系式得x2+y2=12x2+4x=12(x+4)2-8，所以當x=-4時，x2+y2取得最小值-8．

錯解 2:令x2+y2=m，故y2=m-x2，代入已知條件并整理得關于x的方程x2+8x-2m=0，要使方程有解，故Δ=64+8m≥0，即m≥-8．

雖然以上兩種不同解法都得到了同樣的結果，即x2+y2取得最小值-8，但都是錯誤的，原因是沒有深究已知條件x2+2y2=8x中，由于y2=4x-12x2≥0，可得0≤x≤8.在錯解1中，-4∈/ ［0，8］，所以x2+y2的最小值不是-8；而錯解2中，判別式大于等于零只能保證方程在一切實數范圍內有解，不能說明在區間［0，8］內有解．事實上x2+y2=12x2+4x=12(x+4)2-8，該函數在區間［0，8］上單調遞增，當x=0時，x2+y2取得最小值0．

事實上，數學問題中許多隱含的數量關系都是有跡可尋的，可能隱藏在題設中，也可能隱藏在結論中，亦或是隱藏在圖像中，等等．在教學中，教師應引導學生反思條件的完整性，充分發掘隱含條件，培養學生思維的嚴謹性和深刻性．

三、對課堂學習后的總結性反思

孔子曰：“學而不思則罔，思而不學則殆．”在課堂教學即將結束時，教師應積極引導學生自我提問，對課堂所學的內容、自己的聽課情況和課前預習情況及時進行回顧、反思，為接下來的學習提供經驗和給養．例如：今天所學的新知識是什么，我掌握了嗎？老師的講解和自己課前的預習有差別嗎？差別在哪里？新知識與自己已有的哪些知識有聯系？能不能與舊知識結合起來理解？例題是否已將新、舊知識融合到一起了？課上的例題是不是就是考察這一新知識的典型題型？處理例題時，我和老師以及其他同學的方法一樣嗎？哪一種比較合理？

通過這種方法，學生不僅學會知識，還懂得自我評價，自我調整，真正做到自主學習，自我提高．

另外，高中階段的學生每天都在接觸大量的數學習題，但是相當一部分學生沒有養成及時糾錯的習慣，對糾錯的重要性認識不夠，這就導致學生對曾經做過、老師講評過的題目依然屢屢出錯．為了優化思維過程，積累學習經驗，鼓勵學生在糾錯中反思，教師可指導學生建立錯題集，將錯題按錯誤原因、解題方法、題目類型等分類整理，成為學生再學習的重要資源．

總之，如果教師注重教學反思，并在教學中鼓勵、引導和訓練學生反思，激發學習興趣、提高學習效率，定能給力數學教學，真正實現“減負、增效”．

參考文獻

［1］ ［美］波利亞著，閻育蘇譯．怎樣解題［M］．北京：科技出版社，1982.

［2］ 曹才翰，章建躍．數學教育心理學［M］．北京：北京師范大學出版社，2008.

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(責任編輯 金 鈴）

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