淺議數形結合的有效應用

數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事休．”“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”．數與形，是數學學科的表達工具和重要載體，有著本質上的聯系．數形結合可以借助圖形的直觀表達力來解決抽象的數學問題，使尋求答案的過程更為簡潔和清楚，因此教師在日常教學中一定要讓學生理解和掌握數形結合的妙用，快速解決問題．以期達到教學目標，即“以形助教”．數形結合方法是一種數學思想方法，是根據數學問題的結論和條件之間的聯系，既揭示幾何直觀，又分析代數意義，使數量關系與直觀形象和諧、巧妙地結合在一起．且利用這種結合，找到解題思路，化繁為簡，化難為易．下面以高中數學中的典型知識為例淺析數形結合的應用．

一、在集合問題中的應用

集合問題是高中數學的基礎知識，體現了與初中數學不同的理念，且集合問題在外在表達式上和內在關系上都有圖形意味的體現．在解決集合問題的時候，使用數形結合，本質上就是要把抽象的數學問題轉化為直觀的、形象的圖形問題，使學生能認識到集合間的包含、交叉等關系．在實際解題中，常用的圖形表達法有：數軸和韋恩圖．數軸常用于處理帶有模糊意義的集合問題，例如兩個或兩個以上集合包含關系的判定，會有相關的不等式運算，可將兩個或兩個以上的集合關系以數軸表示，以相應點作為代數式的標注，這樣更容易反映出每個代數式的運算關系，可以列出不等式組來；韋恩圖常用于處理比較具體化的集合問題．

例如：利用幾何圖形的性質解題，已知三角形的三個頂點分別為A(2，0)，B(-2，0)，C(-2，4)，求過B點且與直線AC垂直的直線方程．

解：△ABC為等腰直角三角形，AC中點交y軸于點D，D的坐標為（0，2）．所以過點D與直線AC垂直的直線方程為：y=x+4

二、在不等式問題中的應用

高中數學引入了坐標系，拓展了抽象的數學問題在圖形表達上的空間，并以函數圖象為基礎把數形結合推向更適用的領域，可以用來解決不等式、方程和基本函數問題．數形結合解決不等式和方程問題，最基本的方法是把不等式或方程兩端的式子當成函數來繪制函數圖象，之后通過坐標軸與圖象、以及圖象間的交叉等，來直觀地解決數學問題．數形結合法在解決方程組問題中能起到重要的作用，可以將復雜的代數運算轉化成為直觀的純圖形觀察分析，答案變得清楚明了．數形結合方法，在復雜函數的模糊關系判定問題上尤為適用，如對數函數、三角函數等等，如解：方程sin2x=log5x，為判斷這個方程解的個數，可以在同一坐標系畫y=sin2x和y=log5x的圖象，看圖象有幾個交點，就能判斷它的解有幾個．當然，需要精確判斷時，這種方法不太適用，特別是兩個方程圖象極為相似時不宜使用．總之，較為復雜的不等式關系和函數方程運用數形結合法解決時，要求學生熟悉函數圖象，否則會出現誤導以致答案出錯．

三、在函數問題中的應用

在高中數學中，函數問題是重要的考察部分．涉及函數的題目，更離不開數形結合法：因為任何函數都有與它對應的圖象，所以通過畫圖能夠解決初中數學中代數無法解決的問題．一般說來，函數極值問題可以借助基本不等式、數學公式等來解決；而復雜一些的函數極值問題，就需要轉化，以圖形語言展示，數形結合法可以簡化解題步驟，盡可能避免純數理的復雜計算，從直觀的圖形關系得出答案．極值問題是重要的知識點，在歷年高考中占有一定的比重，因此在處理此類問題時，要引導學生進行數形轉化，化繁為簡，省去大量復雜的數學運算，也可以節省時間．如，x2+y2+2x=0，那么（x-1）2+(y+1)2的最小值是多少？解題時，若以傳統方法求解，須確定xy的關系或取值范圍.學生在進行這種運算時，經常顧此失彼，得出的答案常常擴大化，如果利用數形結合的方法，可將極值問題轉化成圖象關系問題，這樣通過簡單的代數運算就能得出答案了．

對于代數與幾何問題，圖象法能使有序實數組集與平面或空間一一對應，它可將幾何問題轉化為代數問題，是幾何與代數問題相互轉化的橋梁．數形結合還適用于復數、三角函數問題的求解．在復雜的立體幾何和解析幾何中，數形結合法的應用更為普遍，教師在教學中，應幫助和引導學生由形思數，由數思形，舉一反三，使兩者相互結合或轉化，從而快速解答數學問題．

參考文獻

［1］李紅梅.例談數形結合在高中數學中的應用［J］.新課程研究，2010.

［2］申光婭.高中數學教學中數形結合的應用［J］.數學教研，2010.

［3］陳海燕.對立統一、相輔相成——數形結合淺談［J］.科學教育，2010.

（責任編輯 易志毅）

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