數(shù)列求和常用的三種方法

〔關鍵詞〕 數(shù)學教學；數(shù)列求和；方法

〔中圖分類號〕 G633.6〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2011）04（B）—00７９—０1

數(shù)列求和是中學數(shù)學的重要內(nèi)容之一，也是高考數(shù)學的重點考查對象之一.它對于提高數(shù)學思維能力十分有益，下面介紹數(shù)列求和的幾種常用方法。

一、錯位相減法

設數(shù)列{an}是等比數(shù)列，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，則求解數(shù)列{anbn}或{■}的前n項和Sn均可用錯位相減法.

例1 設{an}是等差數(shù)列，{bn}是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13，

（Ⅰ）求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式；

（Ⅱ）求數(shù)列{■}的前n項和Sn．

解： （Ⅰ）設數(shù)列{an}的公差為d，數(shù)列{bn}的公比為q，則依題意有q>0且■

解得d=2，q=2．

所以an=1+(n-1)d=2n-1，bn=qn-1=2n-1．

（Ⅱ）∵■=■，

Sn=1+■+■+……+■+■，①

2Ｓn=2+3＋■+……+■+■，②

②－①得，Ｓn=2+2+■+■+……+■-■

=2+2×■-■

=6-■．

二、逆序相加法

把一個數(shù)列先正著寫，然后倒著寫，最后相加.

例2 設函數(shù)f(x)=■的圖象上有兩點

P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若■=■(■+■)，且點P的橫坐標為■.

（Ⅰ）求證：P點的縱坐標為定值，并求出這個定值；

（Ⅱ）若Sn=f(■)+f(■)+f(■)+……+f(■)，n∈N＋，求Sn.

證明：（Ⅰ）∵ ■=■(■+■)，且點P的橫坐標為■，

∴ P是P1P2的中點，且x1+x2=1，y1+y2=■+■=■=■=1.

∴yp=1.

∴ P點的縱坐標為定值，yp=1.

（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，x1+x2=1，f(x1)+f(x2)=1，且f(1)=2-■，

又Sn=f(■)+f(■)+……+f(■)+f(■) (1)

Sn=f(■)+f(■)+……+f(■)+f(■)(2)

（1）+（2）得：2Sn=f(1)+[f(■)+f(■)]+[f(■)+

f(■)]+……+[f(■)+f(■)]+f(1)

=2f(1)+1+1+……+1=n+3-2■，

∴ Sn=■.

三、裂項求和法

裂項求和法的實質是將數(shù)列中的每項分成兩項的差，求和時能消去一些項，最終達到求和的目的.

例3 求數(shù)列■ ，■，……，■的前n項和.

解： 設an=■=■-■（裂項）

則 Sn=■+■+……+■（裂項求和）＝(■-■)+(■-■)+……+(■-■)＝■-1.