導函數奇偶性的充要條件及推論

〔關鍵詞〕 數學教學；導函數；奇偶性；充要條件；推

論

〔中圖分類號〕 G633.6〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2011）04（B）—0080—０1

導數作為解決數學問題的有力工具，在求解函數的單調性、極（最）值、切線等問題中有著廣泛的應用。近幾年的高考中，導數已成為必考內容，而且比重逐年增大.但由于高中階段對導數的研究不是很深入，理解不是很透徹，因此，運用導數解決上述問題時，學生難以理清內在的邏輯關系，造成一些誤解與困惑.下面，本人結合自己的教學經驗，對導函數奇偶性的充要條件及推論進行剖析.

可導函數f(x)與其導函數f′(x)有如下的結論:

定理1f′(x)為奇函數的充要條件是f(x)為偶函數.

定理2f′(x)為偶函數的充要條件是存在常數c，使f(x)的圖象關于點(0，c)成中心對稱.

證明：（1）充分性：

若f(x)為偶函數，則f(-x)=f(x)，兩邊求導，由復合函數的求導法則，得

f′(-x)(-x)′=f′(x)，即-f′(-x)=f′(x) ，

所以f′(-x)=-f′(x)，

故f′(x)為奇函數.

必要性：

若f′(x)為奇函數，則f′(-x)+f′(x)=0.

設F(x)=f(x)-f(-x)，則

F′(x)=f′(x)-[f(-x)]′=f′(x)+f′(-x)=0，

于是F(x)為常數函數，設

F(x)=f(x)－f(-x)=c ①

有F(－x)=f(-x)-f(x)=c②

由①+②得c=0，所以F(－x)=f(-x)-f(x)＝0.

故f(-x)=f(x)，即f(x)為偶函數.

（2）充分性：

若存在常數c，使f(x)的圖象關于點(0，c)成中心對稱，則f(-x)=2c-f(x).對該式兩邊求導，由復合函數的求導法則，可得f′(-x)(-x)′=-f′(x)，即-f′(-x)=-f′(x)，所以f′(－x)=f′(x)，故f(x)為偶函數.

必要性：

若f′(x)為偶函數，則

f′(－x)=f′(x).設F(x)=f(x)+f(－x)，則

F′(x)=f′(x)+[f(－x)]′=f′(x)-f′(－x)=0，

故F（x）為常數函數，于是存在常數2c，使得

F（x）=f（x）+f（－x）=2c.

從而f(－x)=2c-f(x)，故f(x)的圖象關于點(0，c)成中心對稱.

對于結論（2），若f(0)存在，則c=f(0).

這是因為由f(－x)=2c-f(x)恒成立，令x=0 ，得

f(0)=c，所以f(－x)=2f(0)-f(x)，即f(－x)-f(0)=-[f(x)-

f(0)]，故函數f(x)-f(0)是奇函數.

若f(0)=0，則c=0，f(－x)=-f(x).

由此可得下面兩個推論：

推論1 若可導函數f(x)在x=0處有定義，則導函數f′(x)是偶函數的充要條件是f(x)-f(0)為奇函數.

推論2 若可導函數f(x)滿足f(0)=0，導函數

f′(x)是偶函數的充要條件是f(x)為奇函數.