重視數形結合思想 提高高考復習效率

〔關鍵詞〕 數學教學；數形結合；復習；教材；數學建

模

〔中圖分類號〕 G633.6〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2011） 0４（B）—0074—０１

數形結合就是把代數式的精確刻劃與幾何圖形的直觀描述有機結合，借助于數與形之間的對應關系合理轉化，從而使抽象思維與形象思維融為一體，其功能是化抽象為直觀，化繁雜為簡單.縱觀近幾年的高考數學試題，考查數形結合思想的題目逐漸增多.因此，讓學生理解和掌握數形結合的思想，有著十分重要的意義.

一、著眼教材挖掘，引導學生再次感知和理解數形結合的意義

數形結合思想是數學思想方法的核心，貫穿高中數學學習的始終.數形結合思想在高中教材中無處不在，主要體現在:一是在集合中.對于集合的各種運算，如果能借助韋思圖，就能使一些問題變得直觀、具體. 二是在函數中.順利解二次方程、二次不等式以及有關指數函數、對數函數的單調性問題等，最主要的解題策略就是利用函數的圖形.三是在向量部分.很多向量問題可以轉化為幾何問題，借助幾何圖形可快速得到答案.四是在數列中.等差、等比數列都可以看成關于n的函數，特別是等差數列，通項公式an是關于n的一次函數，前n項和Sn是關于n（缺常數項）的二次函數，在解決等差數列最值問題時可以利用一次函數或二次函數的圖象解決問題.五是在解析幾何中.這類問題先畫圖定位，然后結合圖形探究，可迅速解決問題.

二、著眼數學建模，增強學生運用數形結合思想的意識

1.函數模型

根據函數與其圖象的對應關系及函數的性質，凡涉及函數、方程、不等式的問題，都可以聯系函數圖象及其性質建立函數模型，憑借函數圖象的直觀性與有關性質去解決.

例 (2010年全國卷理工11題)已知函數f(x)=■，若a，b，c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，則a，b，c的取值范圍是（ ）

A.（１，１０）Ｂ.（５，６）Ｃ.（１０，１２）Ｄ.（２０，２４）

分析：作出函數的大致圖象，結合f(a)=f(b)=f(c)就可以找到答案.

2.曲線模型

通過研究曲線的方程研究曲線的幾何性質，是解析幾何的基本內容.如果問題涉及關于x的二次根式或關于x、y的一次式或二次式時，都可以試圖直接或間接構建曲線模型，從而利用曲線的性質解答問題.

例 已知2x+y=1，求■的最小值.

分析： 根據式子的結構特征，聯想把■整理成■，再構建曲線模型，把問題轉化為求點（-1，2）到直線2x+y-1=0的距離的問題，易得所求式子的最小值.

3．向量模型

例(2007年浙江考題)若非零向量■ ，■ 滿足■+■=■，則（）

A.2■>2■+■B.2■<2■+■

C.2■>■+2■D.2■<■+2■

分析：顯然可以利用平行四邊形法則，因為■+■=■，即AC=AB， 所以四邊形ABCD為菱形.如右圖，因此OA■+2■，選C.

總之，利用數形結合思想解題雖然有規可循，但求解不一定容易，要仔細體會，其中作圖要準確，尤其要注意特殊點的位置.