常微分方程課程的習(xí)題課教學(xué)探索

摘要常微分方程是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，它在培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力方面發(fā)揮著極其重要的作用。本文探討了常微分方程課程的習(xí)題課教學(xué)的重要性，研究了常微分方程課程的習(xí)題課教學(xué)方式，提出了未來(lái)繼續(xù)改革的方向。

關(guān)鍵詞 常微分方程 習(xí)題課 教學(xué)方式

中圖分類號(hào)：G42 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Teaching Discussing on Exercise Lesson of Ordinary Differential Equation

ZHU Junhui， CHEN Chunrui

(Dept. of Applied Mathematics and Physics， Zhengzhou Institute

of Aviation Industry Management， Zhengzhou， He'nan 450015)

AbstractOrdinary differential equation is a core curriculum of applied mathematics. It plays an important role in fostering ability to analyse and solve the problem. The importance on teaching of exercise lesson of ordinary differential equation is discussed. Teaching methods for exercise lesson of ordinary differential equation is researched. An outlook about teaching of exercise lesson of ordinary differential equation in the future is given.

Key wordsordinary differential equation；exercise lesson；teaching discussing

常微分方程是自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中精確表述基本定律和各種問(wèn)題的根本工具之一，只要根據(jù)實(shí)際背景列出微分方程，并能數(shù)值地或定性地求出方程的解，人們就能預(yù)見(jiàn)事物的變化情況。于是，常微分方程成為人們認(rèn)識(shí)、改造自然和社會(huì)的有力工具，也是數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際的主要途徑之一。常微分方程是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，它在培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，特別是在提高學(xué)生的應(yīng)用能力方面具有天然的優(yōu)勢(shì)，并發(fā)揮著極其重要的作用。

為了提高教育教學(xué)質(zhì)量，培養(yǎng)能力強(qiáng)、素質(zhì)高的應(yīng)用型創(chuàng)新型人才，滿足社會(huì)對(duì)人才的要求，必須大力加強(qiáng)常微分方程課程的教學(xué)改革。常微分方程既是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門學(xué)科基礎(chǔ)課，又是與生產(chǎn)實(shí)踐有密切聯(lián)系的課程之一。如何在常微分方程教學(xué)中把理論與實(shí)踐緊密結(jié)合起來(lái)，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神，就顯得非常重要。而要使學(xué)生掌握常微分方程課程的基本理論和基本技能，其習(xí)題課教學(xué)是不可或缺的重要一環(huán)。

1 常微分方程課程的習(xí)題課教學(xué)的重要性

著名數(shù)學(xué)家陳希孺院士在《高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)》一書的序中寫道：“多做習(xí)題，尤其是多做難題，對(duì)掌握并熟練數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)基本的論證方法和技巧，有著不可替代的重要性。如果通過(guò)一門基礎(chǔ)課的學(xué)習(xí)，只是記住了若干概念，背了幾個(gè)定理，而未能在這方面有所長(zhǎng)進(jìn)，那真是‘入寶山而空返’了。同時(shí)，經(jīng)驗(yàn)表明，在打基礎(chǔ)的階段因忽視習(xí)題而導(dǎo)致素質(zhì)上的缺陷，在日后不易彌補(bǔ)，或事倍功半。” 陳先生的這段話雖然是針對(duì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)課程而言的，但對(duì)于所有的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程具有普遍的意義。

在教材中和課堂上學(xué)生學(xué)到了很多概念、定理、公式，但它們的意義何在，優(yōu)點(diǎn)和局限性何在，如何使用，與其他內(nèi)容的關(guān)系如何，要通過(guò)做習(xí)題去鞏固、探索和加深理解。教材由于篇幅和課時(shí)所限，往往只能作一種粗線條式的講述，許多相關(guān)的知識(shí)、反例、補(bǔ)充、正文中未盡之處以至較近的發(fā)展等，好的教材的編寫者往往是通過(guò)精心設(shè)計(jì)的習(xí)題來(lái)加以組織和反映的。因此，理解各部分知識(shí)間的聯(lián)系，解決問(wèn)題的思路，數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，書面表達(dá)能力的訓(xùn)練，在很大程度上是通過(guò)做題的過(guò)程來(lái)完成的。因此，必須高度重視常微分方程課程的習(xí)題課教

學(xué)。

2 常微分方程課程的習(xí)題課教學(xué)的方式方法探討

為了不斷提升習(xí)題課教學(xué)質(zhì)量，針對(duì)習(xí)題課教學(xué)中存在的問(wèn)題，筆者在教學(xué)實(shí)踐中對(duì)習(xí)題課教學(xué)的方式方法進(jìn)行

了研究。

2.1 講評(píng)作業(yè)

在習(xí)題課教學(xué)中教師應(yīng)了解學(xué)生在知識(shí)理解、方法運(yùn)用等方面的不足，歸納學(xué)生不同的思路和各種解法。通過(guò)講評(píng)，給予作業(yè)中有錯(cuò)誤的學(xué)生必要的及時(shí)的校正，不僅要指出錯(cuò)在哪里，更重要的是要引導(dǎo)學(xué)生分析產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因，使學(xué)生避免犯類似錯(cuò)誤；作業(yè)中無(wú)錯(cuò)誤的同學(xué)也可借鑒別人的解題方法。所以，講評(píng)具有很大的交流性，有及時(shí)補(bǔ)缺、示范的作用。

2.2 選取典型例題

在習(xí)題課教學(xué)中，教師要根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生實(shí)際情況，精選具有典型性、針對(duì)性的例題。如在一階微分方程的初等解法習(xí)題課上選取如下例題。

求解方程：ydx + (y - x)dy = 0。

解：這里M = y，N = y - x， ，，方程不是全微分方程。

方法一 求出積分因子 = y-2，以積分因子 （下轉(zhuǎn)第110頁(yè)）（上接第83頁(yè)）乘以方程的兩端得， + dy = 0

故通解為 + ln|y| = c，其中c為任意常數(shù)。

方法二 方程改寫為，ydx - xdy = -ydy

如果學(xué)生熟記了下面幾個(gè)二元函數(shù)的全微分

該題就迎刃而解了。

方法三 原方程可化為 =

這是齊次微分方程，通過(guò)變量變換可化為變量可分離方程，從而可得方程的解。

方法四 把x看作未知函數(shù)，y看作自變量，方程可化為線性微分方程 = x - 1

可利用常數(shù)變易法可以求解。

通過(guò)類似的典型例題，不但可以幫助學(xué)生把學(xué)過(guò)的知識(shí)融會(huì)貫通起來(lái)，而且讓學(xué)生舉一反三，培養(yǎng)學(xué)生的機(jī)智和靈活性。

2.3 組織討論

課堂教學(xué)效果的好壞在很大程度上決定于學(xué)生參與的程度，學(xué)生參與程度高，課堂教學(xué)效果就好，反之，則差。在習(xí)題課教學(xué)中，如果采用傳統(tǒng)的老師講、學(xué)生聽(tīng)的方式，學(xué)生就只是被動(dòng)地接受知識(shí)，這樣學(xué)生就不容易掌握，就算當(dāng)時(shí)聽(tīng)懂了，也印象不深刻，過(guò)一段時(shí)間又會(huì)忘記，要想使學(xué)生比較容易地掌握知識(shí)，而且印象深刻，不容易忘記，筆者認(rèn)為最好的方法是讓學(xué)生進(jìn)行討論。因?yàn)椴煌瑢W(xué)生思考問(wèn)題的方位、角度不一樣，對(duì)同一問(wèn)題的理解也不一定相同，通過(guò)討論，學(xué)生與學(xué)生之間可以取長(zhǎng)補(bǔ)短，共同提高。當(dāng)然，必須使學(xué)生的討論具有目的性、方向性，不能讓學(xué)生陷入盲目探索狀態(tài)。否則，學(xué)生學(xué)不到系統(tǒng)的知識(shí)，同時(shí)也會(huì)大大降低課堂教學(xué)的效率。因此，在學(xué)生討論之前，教師應(yīng)課前設(shè)計(jì)好問(wèn)題，讓學(xué)生圍繞教師提出的問(wèn)題進(jìn)行討論。

2.4 總結(jié)提高

現(xiàn)以一階微分方程的初等解法為例來(lái)說(shuō)明。比如以方程類型為出發(fā)點(diǎn)，理清變量可分離方程、齊次微分方程、線性微分方程、伯努利方程、恰當(dāng)微分方程之間的相互聯(lián)系；另一方面，引導(dǎo)學(xué)生以分離變量法、常數(shù)變易法、變量變換法、積分因子法為線索，總結(jié)它們的特點(diǎn)，特別是弄清每種方法能求解的方程類型。于是，學(xué)生既把要求解得方程類型搞清楚了，又掌握了解決問(wèn)題的工具的特點(diǎn)，輔以適量的練習(xí)，就會(huì)到達(dá)事半功倍的效果。通過(guò)對(duì)一階微分方程初等解法的總結(jié)，讓學(xué)生熟悉各種類型微分方程的解法，正確而快速的判斷一個(gè)給定微分方程的類型，進(jìn)而選擇快速的方法求解。同時(shí)，讓學(xué)生注意解題技巧，從中總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)自己的靈活性，如能較快捷的

通過(guò)變量變換非典型方程轉(zhuǎn)化為典型方程。

3 未來(lái)繼續(xù)改革的方向

3.1 習(xí)題課教學(xué)要進(jìn)一步發(fā)揮學(xué)生的主體作用

建構(gòu)主義認(rèn)知心理學(xué)理論認(rèn)為，學(xué)生的學(xué)習(xí)是學(xué)生主體基于已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)由學(xué)生自己主動(dòng)、積極建構(gòu)的過(guò)程。這種建構(gòu)不可由他人替代，學(xué)習(xí)者不是外部刺激的被動(dòng)接受者和被灌輸?shù)膶?duì)象，而是在主體與環(huán)境的交互作用中不斷重構(gòu)、發(fā)展和深化主體的理解和知識(shí)。教師不應(yīng)是知識(shí)的傳遞者與灌輸者，而應(yīng)作為學(xué)生自主探究、合作交流、反思提高的指導(dǎo)者與促進(jìn)者。因此，教師必須尊重和發(fā)展學(xué)生的主體性，把課堂還給學(xué)生，把時(shí)間還給學(xué)生，使學(xué)生積極主動(dòng)、有效地參與教學(xué)的全過(guò)程。

3.2 習(xí)題課教學(xué)要滲透啟發(fā)式教學(xué)

在學(xué)生學(xué)習(xí)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)或遇到困難時(shí)，教師逐步引導(dǎo)，調(diào)動(dòng)并發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性、自覺(jué)性，激發(fā)起積極性思維，培養(yǎng)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，使學(xué)生在教師的啟發(fā)和誘導(dǎo)下，自己尋找規(guī)律，并有新的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新。在教學(xué)中，知識(shí)的學(xué)習(xí)不再是唯一的目的，而是手段，注重的是知識(shí)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生去“經(jīng)歷”這樣的思維過(guò)程，讓學(xué)生通過(guò)積極的思維過(guò)程去發(fā)現(xiàn)真理，掌握規(guī)律，訓(xùn)練思維，提升能力。

參考文獻(xiàn)

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