線性常微分方程組理論在線性常微分方程中的應用

摘要高階線性常微分方程與一階線性常微分方程組之間存在著等價關系，基于它們之間的等價關系，利用線性常微分方程組中的存在唯一性定理來證明線性常微分方程中的存在唯一性定理。

關鍵詞 線性常微分方程 線性常微分方程組 等價性 存在唯一性定理

中圖分類號：O175.1 文獻標識碼：A

The Theory of Linear Ordinary Differential Equations System

is Used in the Linear Ordinary Differential Equation

CHEN Lei

(Xinwen Vocational College of Mining， Laiwu， Shandong 271100)

AbstractThere is equal value relation between the linear ordinary differential equation with higher orders and the linear ordinary differential equations system with one order. Based on the equal value of them， the theorem of resolution existence and uniqueness of the linear ordinary differential equations is proved by use of the theorem of resolution existence and uniqueness of the linear ordinary differential equations system.

Key wordslinear ordinary differential equations system; linear ordinary differential equations system; equal value; resolution existence and uniqueness

0 引言

雖然微分方程與微分方程組有一階和高階之分，但是任意一個高階線性常微分方程或方程組，都可以借助于引進新的未知函數而化為一個與之等價的一階線性微分方程組。基于高階線性常微分方程與一階線性常微分方程組之間的等價性，用常微分方程組的理論來證明線性常微分方程中的相關理論。

1 階線性微分方程與線性微分方程組的關系

性質1已知n階線性常微分方程

x(n) + a1(t) x(n-1) + … +a(n - 1)(t)x/ + an(t)x = f (t)（1.1）

其中ai(t)(i = 1，2，…，n)是區間a≤t≤b上的已知函數。

線性常微分方程組

其中則方程（1.1）與方程組（1.2）是等價的。

證明：令x1 = x，x1 = x/，…，xn = x(x-1)這時有

= x/= x2………………xn-1/ = x(n-1) = xn

= -an(t)x1 - an-1(t)x2- … - an(t)xn + f (t)

這樣可以得到

也就是

現在假設(t)是（1.1）的任意一個解，可以得知(t)，/(t)，…，(n)(t)在a≤t≤b上存在連續。

令其中1(t) = (t)，…，n(t) = (n-1)(t)，于是得到

這就表示是方程組（1.2）的解。

反之，假設向量u(t)是（1.2）的任意一個解，令，并定義函數(t) = u1(t)，

有方程組（1.2）的第一個方程可以得到：/(t) = (t) = u2(t)，

有第二個方程得到：//(t) = (t) = u3(t)，…，

有n-1第個方程得到：(n-1)(t) = (t) = un(t)，

有第n個方程可以得到：n(t) = (t) = -an(t)u1(t) - … -a1(t)un(t) + f (t) = -a1(t)(n-1)(t) -…-an - 1(t)/(t) - an(t)(t) + f (t)

由此即得：(n)(t) + a1(t)(n-1)(t) + … an-1(t)/(t) + an(t)(t) = f (t)

這就是說是(t)方程（1.1）的一個解。至此可得出方程（1.1）與方程組（1.2）是等價的。

性質 2方程（1.1）與方程組（1.2）的初值問題等價。

證明：要證明方程（1.1）與方程組（1.2）的初值問題等價，也就是要證明下面的n階線性微分方程的初值問題

（1.3）

其中ai(t)(i = 1，2，…，n)是區間a≤t≤b上的已知函數，t0∈[a，b]， i(i = 1，2，…，n)是已知常數。可以化為下列線性微分方程組的初值問題

（1.4）

其中

現在假設(t)是包含在t0的區間a≤t≤b上方程（1.3）的任意一個解，可以得知(t0) = 1，/(t0) = 2，…， (n-1)(t0) = n

令 其中1(t) = (t)，2(t) = /(t)，…， n = (n-1)(t)那么顯然有(t0) = ，有性質1可以得到向量(t)是方程(1.4)的解。

反之，假設向量是在包含的區間a≤t≤b上的方程組（1.4）的解，并且定義函數w(t) = u1(t)，有方程組可以得到：w(t0) = u1(t0) = 1，w/(t0) = u2(t0) = 2，…，w(n-1) (t0)= un(t0) = n，有性質1可以得出w(t)是方程（1.3）的解。這樣就證明了方程（1.3）與方程組（1.4）等價。

2 線性常微分方程中的存在唯一性定理

定理 1如果ai(t) (i = 1，2，…，n)及f (t)都是區間a≤t≤b的連續函數，則對于任一t0∈[a，b]及任意的x0，x/0，…，x0(n)，方程x(n)(t) + a1(t)x(n-1)(t) + … + an-1(t)x/ + an(t)x = f (t) 存在唯一解x= (t)，定義于區間a≤t≤b上，且滿足初始條件：(t0) = x0，/(t0) = x0/，…，(n-1)(t0) = x0(n-1)。

證明：由性質2可知：n階線性常微分方程的初值問題

（2.1）

與下列線性常微分方程組的初值問題等價

（2.2）

其中

由線性常微分方程組的初值問題的解的存在唯一性定理可以知道方程組（2.2）有唯一解設為，則(t)滿足初始條件(t0) = h。由方程（2.1）與方程組（2.2）的等價性及其轉換關系可以知道1(t)為方程（2.1）的解并且滿足初始條件。

又是方程組（2.2）唯一的解，也就1(t)是說是唯一符合條件的函數，再由方程（2.1）與方程組（2.2）的等價性可知1(t)就為方程（2.1）的滿足初始條件的唯一解。令(t) = 1(t)，則x = (t)就是方程（2.1）的滿足初始條件的唯一解。從而n階線性常微分方程的解的存在唯一性定理得證。

參考文獻

[1]王高雄，周之銘等.常微分方程（第二版）[M].北京:高等教育出版社，2004:102-203.

[2]楊作東.常微分方程學習指導（第一版）.南京師范大學出版社，2005.

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