淺談數列教學在生活中的應用

摘要數列只是數學知識海洋中的一朵小浪花，卻是日常經濟生活中的重要數學模型。文章以分期付款和銀行儲蓄為例分析了數列知識在日常生活中的應用。

關鍵詞 數列 生活 應用

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A

On Application of Series Teaching in Life

TENG Jiulin

(The Comprehensive Educational Research Group of the Foundation Teaching Section，

Dongguan Senior Technical School， Dongguan， Guangdong 523112)

AbstractSeries just mathematics in the ocean of knowledge waves， a small but important in daily economic life mathematical model. Based on the installment and bank savings as an example， analyzed the sequence in the application of knowledge of daily life.

Key wordsseries; life; application

等差、等比數列只是數學知識海洋中的一朵小浪花，卻是日常經濟生活中的重要數學模型，文章以分期付款和銀行存款儲蓄為例談談日常生活中的數列問題。

1 單利與復利計算方式與數列

在分期付款和銀行存款儲蓄中，數列主要是用于利息的計算，根據單利與復利的不同，建立等差數列或者等比數列的模型。在單利計算中，若本金為a元，每期利率為p，利息與本息和可按期數排成數列：第一期末：利息a€譸，本息和a€?1+p)；第二期末：利息a€?p，本息和a€?1+2p)；第三期末：利息a€?p，本息和a€?1+3p)；……第n期末：利息a€譶p，本息和a€?1+np)。由此可知，在單利的計算中，利息與本息和都是公差為ap的等差數列。

在復利的計算中，假設本金為a元，每期利率為p，利息與本息和可按期數排成數列：第一期末：利息a€譸，本息和a€?1+p)；第二期末：利息a€?1+p)€譸，本息和a€?1+p)2；第三期末：利息a€?1+p)2€譸，本息和a€?1+p)3；……第n期末：利息a€?1+p)n-1€譸，本息和a€?1+p)n。由此可知，在復利的計算中，利息與本息和都是公比為（1+p）的等比數列。

2 數列在分期付款中的應用

分期付款是數列在生活中應用的一種模型，解決問題的關鍵是分清單利、復利問題，即是等差數列模型還是等比數列模型問題。例如某人年初向銀行貸款10萬元買房，選擇10年期償還，償還貸款的方式是：分10次等額歸還，每年一次，并從借后次年的年初開始歸還，若10年期貸款的年利率是4%，且每年的利息均按復利計算，問每年應還多少元？

分析：該例是等比數列的應用，建立等比數列的模型要抓住：10萬元歷經10年的本息和=某人10次還款的本息總和這一等量關系。

解：設每年還款x元，則第1次還款的x元到貸款全部還清時的本息和是x(1+4%)9元，第2次還款的x元到貸款全部還清時的本息和是x(1+4%)8元，第3次還款的x元到貸款全部還清時的本息和是x(1+4%)7元，……第10次還款的x元到貸款全部還清時的本息和是x元（無利息）。另一方面：10萬元在10年貸款期全部還清時的本息之和是105·(1+4%)10

故有：x(1+4%)9+ x(1+4%)8+ x(1+4%)7+……+ x(1+4%)+ x =105·(1+4%)10

由等比數列的求和公式得：105€?.0410= x (1.0410-1)/(1.04-1)

解得x≈12330（元）

上例談的是分期付款中被絕大多數人采用的等額本息還款法，即是將一次計算出來的本金與本金在借款期限內產生的利息之和，平均分配到各還款期，由此得到每次等額的還款數額。還有一種是等額本金還款法，即每次所還的本金相同，但利息不同，這不同的利息怎么計算呢？

依然以上面貸款10萬元分10年還清為例，每年還一次，并從借后次年的年初開始歸還，10年期貸款的年利率是4%，不同的是采用等額本金還款方式，那么每年應還款多少元呢？還款總額又是多少？

分析：依據題意和等額本金計算公式，此人每年還款金額 = （貸款本金/還款年數）+（本金-已歸還本金累計額）€酌磕昀剩磕曖溝謀窘鷂?0/10=1（萬元）。

解：第一年應還總額為10/10+10€?%=1.4（萬元）

第二年應還總額為10/10+（10-1）€?%=1.36（萬元）

第三年應還總額為10/10+（10-2）€?%=1.32（萬元）

同理，可計算得第四年的還款額為1.28萬元，第五年為1.24萬元，第六年為1.2萬元，第七年為1.16萬元，第八年為1.12萬元，第九年為1.08萬元，第十年為1.04萬元，十年總計還款總額為12.2萬元。

通過對等額本息還款法與等額本金還款法的計算與分析可知，在生活中若我們會使用數列的知識，在同樣的利率、貸款額度、還款次數情況下，就能準確計算各種（下轉第35頁）（上接第19頁）還款方式的不同結果?？偟膩碚f，等額本金還款法比等額本息還款法要節約資金，所還的利息要少些，但是在還款的初期，等額本金還款法比等額本息還款法還款額度高，帶來的經濟壓力要大些。但就資金的時間效益而言，等額本息還款法由于每次還款額固定，隨著時間的推移，價值穩步下降。對于選擇投資的人來說，等額本息還款法是很好的選擇，既能緩解初期的資金壓力，又能體現資金的時間價值；對于購房自住的有穩定收入的家庭來說，等額本金還款法則更適宜。

3 數列在銀行存款儲蓄中的應用

銀行存款儲蓄業務分活期儲蓄和定期儲蓄，活期儲蓄是指不確定存期，隨時可以存取款且存取金額不限的一種儲蓄方式。定期儲蓄是在存款時約定存期，一次或按期分次存入本金，整筆或分期、分次支取本金或利息的一種儲蓄方式。定期儲蓄可分為以下幾種類型：整存整取、零存整取、整存零取、存本取息、定活兩便和通知存款，其存取方式因類型不同而有區別。 實際生活用的最多的是活期儲蓄、整存整取、零存整取方式。銀行存款儲蓄業務都按單利計算利息。

在活期儲蓄中，每月按30天，每年按360天，以具體天數計算利息，計單利。例如王某以活期儲蓄形式存入銀行5000元，年利率為3%，存期為5個月，則王某所得利息計算公式為：本金€啄昀蕗狀嫫諤焓齹?60，利息計62.5元，本息和為5062.5元。

整存整取是指約定存期，整筆存入，到期一次支取本息的一種儲蓄，利息計算方式與活期儲蓄相似，在約定存期到期后利息計算方式為本金€自級昀蕗自級ㄔ率齹?2個月。

零存整取與活期儲蓄和整存整取業務不同，它不是一次性存入，而是在按期分次存入本金，到期一次支取本息。該業務中每期存入間隔時間相同、金額相同的款項成為年金，利息依然是以單利計算。例如某人計劃每月一日存入銀行1000元，若年利率為2%，一年后他本息共計多少元？在不清楚銀行零存整取計算公式的情況下，可用數列知識計算此人到期時的本息和。第一次存入的1000元到期時的利息為1000€?%;第二次存入的1000元到期時的利息為1000€?%€?1€?2；第三次存入的1000元到期時的利息為1000€?%€?0€?2……第十二次存入的1000元到期時的利息為1000€?%€?€?2，由此可知該數列是一個公差為1000€?%€?2的等差數列，由數列和公式可以很快得知利息和為130元，加上本金12000元，本息合計12130元。該種計算方式與銀行提供的利息計算方式：利息＝月存金額€桌奐圃祿齹自呂?，缞J圃祿劍ù嬡氪問?）€?€狀嬡氪問?，紦鋺C隼吹慕峁嗤?。需要注意的薁楷灾o導噬鈧辛憒嬲±⒏堇實牡髡?，每圃煁茈日普娡租傉取出日圃懩不同，利息会有微小抵\浠?

通過對銀行三種常用儲蓄方式的計算與分析，數列知識能幫助我們清楚地辨別在同等情況下使用哪種儲蓄方式收益更高，能幫助我們確定最佳的理財方式。數列在生活的應用絕不限于銀行儲蓄、分期付款、貸款幾方面，在保險、租賃貿易、企業優化方案的設計等方面也不可或缺。

參考文獻

[1]林志偉.數列在分期付款中應用的教學初探[J].內蒙古師范大學學報，2007(8).

[2]黃富.研究性學習課題:數列在分期付款中的應用——分期付款中還款方式的選擇[J].數學教學通訊，2005(7).