高中生數學問題意識培養例談

摘要《普通高中數學課程標準》十分重視培養和發展學生問題發現、問題提出、問題解決的能力。本文通過在教學中對新人教版高中數學教材中一道習題的解析，提出用橫向拓展和縱向引申的方法培養高中學生的數學問題意識。

關鍵詞 數學問題意識 橫向拓展 縱向引申 問題鏈

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A

High School Students Mathematics Consciousness Training

SUN Jinni

(Mathematics School， Yunnan Normal University， Kunming， Yunnan 650092)

Abstract\"Ordinary high school mathematics curriculum standard\" stresses students' abilities of founding problems， raising problems and solving problem. This article through the analysis of an exercise in denior school textbook， to raise a method of horizontal development and longitudinal extension to cultivate high school students' mathematical problem consciousness.

Key wordsmathematics problem consciousness; the horizontal development; longitudinal extension; problem chain

數學問題意識是指人們在進行數學的認識活動中，活動主體對既有的知識經驗和一些難以解決的實際或理論問題所產生的懷疑、困惑、焦慮、探究等的心理狀態，并在其驅動下，不斷提出問題，解決問題的心理過程。它在數學思維過程乃至整個數學認識活動中占有重要的地位。數學問題意識的培養可以通過課堂教學來實現。

以新人教版普通高中教科書《數學·選修2-1》73頁第6題為例，教師可以采用橫向拓展和縱向引申問題鏈的方式培養高中學生的數學問題意識。

題目：如圖1，直線y = x - 2與y2 = 2x相交于A、B兩點，求證：OA⊥OB

圖1圖2

證明：將y = x - 2代入y2 = 2x得x2 - 6x + 4 = 0，

由根與系數的關系有：x1 + x2 = 6， x1·x2 = 4。又y1·y2 = (x1-2) (x2-2) = x1x2 - 2(x1 + x2 ) + 4 = -4得kOA·kOB = · = -1，所以得證。

觀察上面證法，當直線方程、拋物線方程中系數的絕對值較大或為字母時，顯然更具有一般性。即若對題目中的量可以由數字變為字母，亦可由特殊變為一般。對所給的條件可以加強，亦可弱化。即可對題目橫向拓展、縱向的延伸，形成一系列的問題鏈。

1 數學問題橫向拓展

對于一個數學問題的拓展有多種途徑。橫向拓展一般是指把題目的條件進行相似性變化，即在數學元素的數量上或維數上進行推廣。表現在幾何方面，常為線段數或邊數的增加，或從平面到空間的推廣；代數方面常為變量個數的遞增。運用橫向拓展教師用類比的思想引導學生去探討在不同的問題中是否也具有同樣的性質，通過這一類比性質的推廣，往往會得出一些形式相似的問題，形成一系列不同側面數量變化的問題鏈。從這個角度對上題目可做如下一系列的相似變化。

問題1變化方程y = x - 2這個條件，能否保持結論OA⊥OB不變？

分析：若直線方程為y = kx - 2（k≠1），利用上證法不能保證結論不變。若直線方程為y = k(x - 2)（k≠1）時，則結論依然成立，此直線方程表示過定點（2，0）的直線系，于是可引出下一變題。

設A、B是拋物線y2 = 2x上不為原點的兩個動點，若直線AB過（2，0），求證：OA⊥OB。

分析：直線AB過（2，0），可設直線方程為y = k(x - 2)，同上證法2可得OA⊥OB。

問題2變化方程y2 = 2x這個條件，能否保持結論OA⊥OB不變？

分析：若拋物線方程為y2 = 2px， (p＞0)，利用證法2不能保證結論不變。還需添加y = x - 2p，能保證結論不變，于是可引出下一變題。

設A、B是拋物線y2 = 2px， (p＞0)上不過原點的兩個動點，若直線AB過(2p，0)，求證：OA⊥OB。

分析：這個問題的證明需要分類討論：

（1）當AB所在直線的斜率不存在時，AB所在的直線方程為x=2p，可得OA⊥OB。

（2）當AB所在的直線斜率存在時，AB的方程可設為y = k(x - 2p)，利用上證法2即可證得OA⊥OB。

綜合以上兩問題便可引出以下問題：

問題3保持OA⊥OB不變的充要條件是什么？

通過對以上問題的分析與綜合變得到以下變題：

設A，B是拋物線y2 = 2px， (p＞0)上不（下轉第199頁）（上接第183頁）過原點的兩個動點，則OA⊥OB的充要條件是AB所在直線必過定點(2p，0)。

在此問題鏈的教學中，每得出一個結論，就接著提出適當的問題，讓學生去嘗試探索。通過分析逐個得出后面的結論，這些結論都是教材中沒有的結論，這對學生來說就是一種發現。教師能夠這樣去探索問題，對自身有促進作用；對學生也是培養一種創造性的思維啟迪。同時，學生對于問題結論認識的加深，將對進一步提出問題帶來

思考線索，為解決后續問題打下基礎。

2 數學問題縱向引申

縱向引申是指把問題范圍加深，增加或減少題目的條件，可以從不同的方面進行派生。從不同的側面對問題進行引申得到差異性質很不相同的問題鏈。從這個角度根據題目中的數量、位置關系的特殊性，對題目中的條件做進一步的變化，利用已有的結論解決新的數學問題。

問題4如圖2，已知直線與拋物線y2 = 2px(p＞0)交于A、 B兩點，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于點D，點D的坐標為（2，1），求的值？

分析：設直線OD的方程為y = kx。把（2，1）帶入y = kx

得y = -2x + 5。 由問題3的結論：直線AB必過定點(2p，0)，則有0 = -4p + 5。所以p = 。

從這一問題的分析可以看出，它是題目的條件的引伸。注意到解析幾何這門學科的中心思想是求軌跡方程，還可將此問題進行進一步的引申。

問題5設A和B是拋物線y2 = 2px(p＞0)上不過原點的兩個動點，已知OA⊥OB，OD⊥AB，求點D的軌跡方程，并說明它表示什么曲線？

此問題鏈的流程如下：

當然，此問題還可以從其它的角度進行拓展引伸，如把拋物線變化為橢圓或雙曲線的情形，將拋物線的方程改為x2 = 2py進行問題鏈的設計。無論是從哪個角度，在設計問題鏈時都要注意各問題之間的轉化具有一種自然的聯系。在每個問題解決之后，提出相應的問題能引起學生積極思維的動機，去嘗試探索、分析，將知識延伸拓廣，使學生在解決問題中獲得思維的發展和能力的提高。并提高學生進一步提出問題的能力，使問題鏈最大限度地真正發揮作用。不僅使學生有學習的積極性和主動性，而且要求學生對問題的觀察比較仔細，數學思維深刻而活躍。

綜上，培養學生問題意識的關鍵在教師的教學引導。教師能將一個簡單問題既可以橫向拓展，也可以縱向引伸。在橫向拓展中，可以用各種數學思想引導學生去探討不同問題中是否具有相同的性質；在縱向延伸時，可以把問題再次進行加深，形成一系列的問題鏈，以培養學生的思維，為提高學生問題意識做積極的榜樣。

注釋

束永祥，盧蕊.數學問題意識、問題提出的涵義及因素分析[J].鎮江高專學報， 2005.18(4).

任章輝.數學思維理論[M].廣西:廣西教育出版社，2003.

普通高中課程標準實驗教科書 數學（選修2-1）[M].北京:人民教育出版社，2010.

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