淺談定積分應用之微元法

摘 要:本文簡單闡述了定積分應用中的微元法，基于微元法的理論依據，指出了為什么在計算旋轉體側面積時選用的是圓臺微元，而不是像計算旋轉體的體積時那樣選取圓柱微元，即而不是。對初學者進一步理解并正確應用微元法有一定的指導作用。

關鍵詞:定積分應用 微元法

中圖分類號:O17文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2011)12(b)-0143-01

我們知道在幾何、物理或者其他科學技術中有很多量都需要用定積分來表達，而建立這些量的積分表達式的常用方法就是微元法。換句話說微元法思想在定積分的應用中占有很重要的地位。具體怎樣求微元，即如何正確的選取微元這是問題的關鍵，對初學者來說也是一個難點。這就需要我們細細分析一下微元法的實質，明白微元法的理論依據是什么。

一般來說，用定積分表達的量應具備如下特征[1]:(1)所求量都具有對于區間的可加性，即分布在區間上的總量等于分布在各子區間上的局部量之和，即;(2)所求量是分布在區間上的非均勻連續分布的量。具備了上述特點，因而我們可以利用“分割-近似-求和-取極限”的方法來計算整體量。把上述四步歸納簡化后就是通常說的微元法，有時也稱無窮小元素的求和法:

1 在區間上任取一個小區間，并取在該區間上局部量的近似值

(1)

2 在區間上積分得

(2)

其中 稱為積分微元，簡稱微元。

初學者對于微元法求平面圖形的面積及旋轉體的體積時，一般都能夠準確的找到面積微元及體積微元，對于書上給出的計算公式也能理解并接受。如以及曲線為

邊界的曲邊圖形的面積微元為底為，高為的小矩形的面積，即。以曲邊梯形繞軸旋轉一周所成的旋轉體的體積微元為底面半徑為，高為的小圓柱體的體積，即。但是在選取由曲線段及軸圍成的平面圖形繞軸旋轉一周所成的旋轉體的側面積的面積微元時，常存在疑問。不明白為什么計算側面積時選用的是圓臺微元，而不是像計算旋轉體的體積時那樣選取圓柱微元呢，即為什么而不是？這得從微元法的理論依據說起。由(2)式我們知道，其中，所以的微分。的所需要的近似值就是的微分。確切的說，積分微元就是的微分，它們的差是關于的高階無窮小，這也保證了近似過程的準確性。我們可以通過理論方法證明當時，不是比高階的無窮小，而是比更高階的無窮小[2][3]。因此在計算旋轉體的側面積時只能選取作為面積微元，而不是選取作為面積微元。

通過上面的分析可知，弄清楚微元法中的微元的實質或者說理論依據對微元的正確選取起著至關重要的作用，是準確寫出積分表達式的關鍵。這也要求我們從一開始便要深刻理解微分的概念，以及微分與原函數之間的關系，為以后的學習打下堅實的基礎。

參考文獻

[1]何柏慶，等.高等數學(物理類，上冊).北京:科學出版社，2007.

[2]朱惠延.旋轉體側面積公式的另一推導.數學理論與應用，1999，第19卷第4期:44～45.

[3]王榮乾，余小飛.正確使用微元法解決旋轉體的側面積問題.數學學習與研究(教研版)，第2期，105，2009.