談復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)教學(xué)難點(diǎn)的突破

摘 要:復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法運(yùn)用如何，是求導(dǎo)方法靈活應(yīng)用的重要標(biāo)志。本文從分清函數(shù)，確認(rèn)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，分步施教等三個(gè)方面對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法難點(diǎn)如何突破進(jìn)行了說(shuō)明，使學(xué)生更加明確復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法.

關(guān)鍵詞:復(fù)合函數(shù) 難點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)

中圖分類號(hào):G623.3文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1674-098X(2011)12(b)-0139-01

導(dǎo)數(shù)是微積分中重要概念之一，是學(xué)習(xí)微積分的紐帶。復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算是求導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵，它是檢驗(yàn)導(dǎo)數(shù)計(jì)算基本訓(xùn)練能否過(guò)關(guān)的重要標(biāo)志。另外，在教學(xué)過(guò)程中，也深感學(xué)生在學(xué)習(xí)中十分困難，為了突出教學(xué)重點(diǎn)，突破教學(xué)難點(diǎn)，筆者采用了如下的教學(xué)方法，與讀者交流。

1 觀察函數(shù)，掌握基礎(chǔ)

用已掌握的計(jì)算方法解決新的計(jì)算問(wèn)題，從實(shí)際背景中抽象出新的數(shù)學(xué)概念，認(rèn)準(zhǔn)所解決問(wèn)題的本質(zhì)特征，是數(shù)學(xué)教學(xué)常規(guī)的教學(xué)方法，對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法的教學(xué)，也同樣可以用這種方法進(jìn)行教學(xué)。

1.1 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的引入

我們?cè)谇懊嬉颜莆樟艘韵虑髮?dǎo)公式和求導(dǎo)的四則運(yùn)算法則， 試問(wèn)成立嗎？我們可以用另外的辦法來(lái)求的導(dǎo)數(shù)

由上可以知道的導(dǎo)數(shù)是2，出現(xiàn)這個(gè)錯(cuò)誤的原因是在那里呢？原來(lái)是由，復(fù)合而成的，是函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)，用對(duì)的導(dǎo)數(shù)去代替對(duì)的導(dǎo)數(shù)，顯然就錯(cuò)了。

我們還可以知道，，由此我們可以引入復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。

1.2 正確判斷函數(shù)，選擇適當(dāng)求導(dǎo)法則

(1)凡是由基本初等函數(shù)之間的四則運(yùn)算按所組成的函數(shù)(稱為簡(jiǎn)單函數(shù))，不管其簡(jiǎn)單還是繁雜，在求導(dǎo)時(shí)只需用導(dǎo)數(shù)基本公式和四則運(yùn)算法則，不需要用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。

例如，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，只用導(dǎo)數(shù)的基本公式和四則運(yùn)算法則即可求出。

(2)對(duì)于基本初等函數(shù)來(lái)說(shuō)，如果位于自變量的位置不是，而是的函數(shù)，那么，就要將此函數(shù)稱的復(fù)合函數(shù)，因而，必須用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。

例如，，，是三角函數(shù)形式的復(fù)合函數(shù);

，是反三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù);

，，是冪函數(shù)形式的復(fù)合函數(shù);

，，是指數(shù)函數(shù)形式的復(fù)合函數(shù)。

求以上形式的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，都必須要用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。

2 牢記方法，抓住關(guān)鍵

求導(dǎo)數(shù)關(guān)鍵問(wèn)題是求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵，除了要正確判斷函數(shù)外，還必須對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有正確的認(rèn)識(shí)和使用.

1.標(biāo)準(zhǔn)公式:若都可導(dǎo)，則

或者.

2.公式說(shuō)明:復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于復(fù)合函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù).

3.正確使用符號(hào):表示函數(shù)對(duì)的導(dǎo)數(shù)，表示函數(shù)對(duì)的導(dǎo)數(shù).

4.公式里的中間變量、僅是為了求導(dǎo)方便而引入的，所以求導(dǎo)以后還要將、還原成的函數(shù).

5.由于在求導(dǎo)過(guò)程中多了中間變量、，所以在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，必須分清楚是誰(shuí)對(duì)誰(shuí)的導(dǎo)數(shù)，這一點(diǎn)在以后求導(dǎo)數(shù)時(shí)尤為重要，必須要牢記在心的.

6.應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則時(shí)，關(guān)鍵是引入中間變量、，分清楚函數(shù)的復(fù)合關(guān)系.

一般是采用從外到內(nèi)逐層剝開的辦法來(lái)分析函數(shù)的復(fù)合過(guò)程，直到最后一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)或基本初等函數(shù)，不用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則也可以求導(dǎo)為止.

(1)對(duì)所給的函數(shù)認(rèn)真觀察，看把什么函數(shù)看成一個(gè)整體(即看成中間變量)使所給的函數(shù)成為基本初等函數(shù)或者簡(jiǎn)單函數(shù)，以便可以使用求導(dǎo)基本公式及四則運(yùn)算法則，求出對(duì)中間變量、的導(dǎo)數(shù)。

(2)如果需要多次設(shè)置中間變量，則在第一步設(shè)置中間變量時(shí)，不必考慮第二步的中間變量應(yīng)如何設(shè)置，只需按(1)中的要求，再觀察第一個(gè)中間變量，使其成為第二個(gè)中間變量的基本初等函數(shù)、簡(jiǎn)單函數(shù)。一次類推直到最后，并把他們順次聯(lián)結(jié)起來(lái)，就使得所給函數(shù)成為容易求導(dǎo)的基本初等函數(shù)、簡(jiǎn)單函數(shù).

例如:分解復(fù)合函數(shù)，

引入第一個(gè)中間變量:令，，(注意:仍是的復(fù)合函數(shù))，

引入第二個(gè)中間變量:令，，(注意:仍是的復(fù)合函數(shù))，

引入第三個(gè)中間變量:令，，(注意:是簡(jiǎn)單函數(shù))，

由以上函數(shù)，，是基本初等函數(shù)，函數(shù)是簡(jiǎn)單函數(shù)，它們都可用基本求導(dǎo)公式或求導(dǎo)四則運(yùn)算法則求出導(dǎo)數(shù)，所以已知函數(shù)是由函數(shù)，，這三個(gè)函數(shù)復(fù)合而成.

3 分步施教，突破難點(diǎn)

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法，應(yīng)用廣泛，極為重要，既是教學(xué)的重點(diǎn)也是難點(diǎn)。在教學(xué)過(guò)程中，鑒于對(duì)求導(dǎo)知識(shí)掌握的程度，求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以分為三步進(jìn)行:

第一步，設(shè)出中間變量，正確應(yīng)用法則，還原變量并化簡(jiǎn)。

例1.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

分析:可將已知函數(shù)看成是以函數(shù)“”為整體函數(shù)的冪函數(shù)的函數(shù)，即以“”為中間變量的冪函數(shù)的復(fù)合函數(shù)。故可令，.

解:看成是由，復(fù)合而成的，，，

.

第二步:比較熟練以后，就可以不必寫出中間變量了，這樣不僅可使求導(dǎo)過(guò)程簡(jiǎn)單些，而更重要的是盡快擺脫引入中間變量，有利于提高想象力，促進(jìn)思維的發(fā)展、智力的開發(fā)、素質(zhì)的提高.

例2:求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

分析:在利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法時(shí)，默想著用代替，則，先對(duì)中間變量求導(dǎo)，再乘以中間變量對(duì)求導(dǎo)數(shù).

解:，

注意:此時(shí)可以簡(jiǎn)單的寫成，因?yàn)楸緛?lái)就是的函數(shù)，由于沒(méi)有明確引入中間變量，將寫成不會(huì)引起混淆.

第三步:到了已經(jīng)熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)技巧以后，就可以

直接求出導(dǎo)數(shù)，并化簡(jiǎn).

例3:求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

解法一:不引入變量，一般可寫成:

解法二:熟練掌握后可寫成:.

以上是筆者對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法教學(xué)難點(diǎn)突破的拙見，望讀者多提寶貴意見！