淺談一題多解與一題多變

【題目】如圖所示，直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于點A、 B，求證：OA⊥OB.

一、一題多解

一題多解的教學，不僅可以通過少量的問題去溝通各部分知識間的聯系，拓寬解題的思路，“以少勝多”，而且有利于培養學生探求的精神和對數學研究的興趣，培養學生的思維品質，發展學生思維能力.

對于教師而言挖掘習題中的“一題多解”是教學技能的必備一環.從解題角度來看，準確把握解題目標，緊扣解題目標，抓住要害特征，促使思維發散，通過變化觀察角度，積極尋找解題方向，形成方向性解題分析，進而再聯系溝通各部分知識研究出每一解題方向下的具體解法，達到挖掘“一題多解”的目標.

分析一：抓住OA⊥OB這一解題目標，準確把握“垂直”這一概念在直線方程上看，其特征為k1k2=-1，從而明確k1k2=-1這一解題方向.繼而分別從①斜率公式，求出交點，然后求得kOAkOB=-1；②通過韋達定理整體求出x1x2，y1y2的值，從而有kOAkOB=-1；③抓住過原點直線的斜率k=yx這一特征構造出kOA，kOB為一個方程的兩個根，由韋達定理求出kOAkOB=-1這三種具體途徑得到證法1、證法2、證法3三種解法.

證法1：（斜率公式）將y=x-2代入y2=2x中，得(x-2)2=2x化簡得x2-6x+4=0解得x=3±5則y=3±5-2=1±5.

∵kOB=1+53+5，kOA=1-53-5，∴kOB#8226;kOA=1+53+5×1-53-5=1-59-5=-1.

∴OA⊥OB. （課本給出）

證法2：（韋達定理）同證法1得方程x2-6x+4=0.由一元二次方程根與系數的關系，可知x1+x2=6，x1x2=4，∵y1=x1-2，y2=x2-2，

∴y1#8226;y2=(x1-2)(x2-2)=x1#8226;x2-2(x1+x2)+4=4-12+4=-4.

∴kOA#8226;kOB=y1x1#8226;y2x2=y1y2x1x2=-44=-1.∴OA⊥OB.

（課本給出）

證法3：（構造法）由

y=x-2，y2=2x2=x-y，y2=2xy2=(x-y)xy2+xy=x2(yx)2+(yx)-1=0.

從而OA、OB的斜率k1，k2是方程(yx)2+(yx)-1=0的根，∴k1k2=-1，∴OA⊥OB.

分析二：抓住OA⊥OB這一解題目標，準確把握“垂直”這一概念從向量特征看，是OA#8226;OB=0，從而明確OA#8226;OB=0這一解題方向.再利用韋達定理及OA#8226;OB=x1x2+y1y2得出OA#8226;OB=0.得證法4.

證法4：（向量法）設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則OA=(x1，y1)，OB=(x2，y2)，

由證法2得x1x2=4，y1y2=-4，∴OA與OB為非零向量，

且OA#8226;OB=x1x2+y1y2=4+(-4)=0，∴OA⊥OB，即OA⊥OB.

分析三：抓住OA⊥OB這一解題目標，準確把握“垂直”這一概念從三角形知識看，可用勾股定理來證明垂直，同時運用兩點間距離公式、弦長公式等知識得證法5.也可用面積法來證明垂直，同時運用兩點間的距離公式、弦長公式和點到直線的距離公式等知識得出證法6.

證法5：（勾股定理）由證法1知A（3-5，1-5），B（3+5，1+5），

|OA|2=(3-5)+(1-5)2=20-85，|OB|2=(3+5)2+(1+5)2=20+85，

 ∴|OA|2+|OB|2=40，由證法2知x1+x2=6，x1x2=4，由弦長公式得：

|AB|2=［1+k2(x1+x2)2-4x1x2］2=(1+12)#8226;(62-4×4)=40，

|OA|2+|OB|2=|AB|2，即OA⊥OB.

證法6：（面積法）由證法5知，

|OA|#8226;|OB|=|OA|2|OB|2=(20-85)(20+85)=80

，|AB|=|AB|2=40，



而原點O到直線AB的距離d=|0-0-2|2=2，∴d#8226;|AB|=2×40=80 ∴S△ABO=12d#8226;|AB|=12|OA||OB|.∴△ABO為直角三角形，即OA⊥OB.

從上述證法中，我們可以得到這樣的啟示：“一題多解”是一個思維發散的過程，從數學思想的層面看，其核心就是“轉化”的思想，從中尋找規律，實施解題，這是解決數學問題的一般規律.面對一道數學題，如何把握解題目標的反映形式，找到解題方向，最終找到具體解題方法，還是有一定的規律可遵循的.要善于觀察條件與解題目標的特征，運用自己的知識與技能，找到解題方向，再抓住方向特征的展現形式，多角度分析，調動一切積極因素，形成有效的多種解題途徑，實現“一題多解”.

二、 變式訓練

變式，是指相對于某種范式的一種變化式.在解題過程中，從知識的正向遷移到逆向化歸，每一步都體現了“變”的思想.學會變式，就是要觀察數學問題是如何從簡單演變、派生到復雜的，理解“變式”的基本思路，掌握變式的思維方法，學會歸納出解決問題的方法、策略與技巧.加強變式訓練，對提高思維的辨證能力，拓展解題思維的渠道，促進思維向自覺領悟階段轉變，都具有不可替代的作用.因此，我們對例題進行一題多解的探究后，還應進一步一題多變.

分析1：將直線y=x-2變成y=x+b，把常數-2變為變量b，轉換問題呈現形式，得到變式1.

變式1：已知直線y=x+b與拋物線y2=2x相交于A、B兩點，O為原點，且OA⊥OB，求證：b=-2.

分析2：將直線y=x-2變成y=kx-2，把常數1變為變量k，轉換問題呈現形式，得到變式2.

變式2：已知直線y=kx-2與拋物線y2=2x相交于A、B兩點，O為原點，且OA⊥OB，求證：k=1.

分析3：將拋物y2=2x線變成y2=2px(p＞0)，把常數2變成變量2p，轉換問題呈現形式，得到變式3.

變式3：已知直線y=x-2與拋物線y2=2px(p＞0)相交于A、B兩點，O為原點，且OA⊥OB，求證：p=1.

分析4：將直線y=x-2變成y=kx+b，把兩個常數1和-2變為變量k和b，轉換問題呈現形式，得到變式4.

變式4：已知直線y=kx+b與拋物線y2=2x相交于A、B兩點，O為原點，且OA⊥OB，求證：b和k滿足條件b2+2bk=0，且b≠0.

筆者通過一道課本例題的“一題多解” 與“一題多變”探討，希望能給讀者帶來一些幫助.

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參考文獻

［1］ 寧連華.數學學科探究學習的特征及其指導策略［J］ .數學通訊，2004（7）.

［2］ 鄭毓信.開放題與開放式教學［J］.中學數學教學參考，2001（3）.