淺談高中數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，很多學(xué)生只注重解題思路的探究，忽略運(yùn)算，導(dǎo)致考試時(shí)題目會做，但因運(yùn)算能力差而做不完.2010年江蘇高考就是一個(gè)很好的例子！考生反映題目思路易找，卻難算.以致前14個(gè)填空題用了一小時(shí)也沒做完，這直接影響后面六個(gè)解答題的作答.這種情況，與平時(shí)教學(xué)中不注重運(yùn)算能力的培養(yǎng)或培養(yǎng)方法不當(dāng)有很大的關(guān)系，對運(yùn)算求解能力的考查要求“江蘇高考說明”明確指出：“能夠根據(jù)法則、公式進(jìn)行運(yùn)算及變形；能夠根據(jù)問題的條件尋找與設(shè)計(jì)合理、簡捷的運(yùn)算途徑；能夠根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)和近似計(jì)算”.在教學(xué)中，我們要重視學(xué)生的運(yùn)算能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，下面本人結(jié)合自己教學(xué)中的感悟淺談幾點(diǎn)：

一、 掌握基礎(chǔ)知識、基本方法是培養(yǎng)運(yùn)算能力的基本保障

所謂“運(yùn)算”，主要講的是算法和算理.算法是解決問題的計(jì)算方法，而算理是采用這種算法的依據(jù)和原因.一個(gè)是表一個(gè)是里；一個(gè)是現(xiàn)象一個(gè)是本質(zhì).如果基礎(chǔ)知識、基本方法不掌握，我們運(yùn)算的算法和算理從何而來呢？

【例1】 （2010江蘇高考13） 在銳角三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若

ba+ab=6cosC，則tanCtanA+tanCtanB的值是 .

分析：此題得分率很低，重要原因之一是學(xué)生怕計(jì)算，不敢算，擔(dān)心算不出結(jié)果又耽誤時(shí)間，唯恐“賠了夫人又折兵”，所以很多考生選擇放棄.其實(shí)，本題主要考查三角恒等變換和正、余弦定理的應(yīng)用.如果我們掌握了三角的基礎(chǔ)知識，處理三角的基本方法，此題不難得分！條件ba+ab=6cosC是邊角混合等式，處理的基本方法是化邊或化角.所求式tanCtanA+tanCtanB是切的問題，處理的基本方法是切化弦.若將條件化角，與所求很難聯(lián)系，故化邊，即用余弦定理可得：2a2+2b2=3c2，而tanCtanA+tanCtanB，切化弦得：1cosC(tanCtanA#8226;cosA+tanCtanB#8226;cosB)

，再運(yùn)用正弦、余弦定理可化得：6c2a2+b2=4.

從上例可以看出，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，對基本概念、公式，基本方法的掌握程度直接影響到解題的質(zhì)量與速度.如果學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識、基本方法理解得清晰深刻，那么他們在進(jìn)行運(yùn)算時(shí)就能思路敏捷，迅速準(zhǔn)確.否則，便會陷入一種盲目遲鈍的狀態(tài)，出現(xiàn)各種各樣的錯誤.

二、 重視常規(guī)技巧是培養(yǎng)運(yùn)算能力的重要途徑

運(yùn)算能力發(fā)展到一定的水平，即形成了運(yùn)算的基本方法和技能，此時(shí)還必須讓學(xué)生掌握常規(guī)運(yùn)算技巧，這樣可以簡化運(yùn)算，提高學(xué)生的解題能力.以解析幾何為例，學(xué)生在此類問題上，會“蠻算”，“技巧”上的功夫不夠.

【例2】 （2010江蘇高考18）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓x29+y25=1

，左右頂點(diǎn)為A，B，右焦點(diǎn)為F，設(shè)過點(diǎn)T（t，m）的直線TA，TB與此橢圓分別交于點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中m＞0，y1＞0，y2＜0.

（1） （2）略.

（3）設(shè)t=9，求證：直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與m無關(guān)）. 

分析：本題為江蘇高考中等題，屬直線恒過定點(diǎn)問題，考查直線與橢圓交點(diǎn)的求法.思路易求但運(yùn)算無法突破，眾多考生頗有一種“無可奈何化落去，似曾相識燕歸來”的感覺.本題在求M、N兩點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，有技巧！若是將直線AT的方程代入橢圓方程，消元解關(guān)于x或y的一元二次方程，則無法進(jìn)行下去.倘若注意到直線方程與橢圓方程的特征，此題將被突破.

略解：由題設(shè)知，直線AT的方程為y=m12(x+3)，直線BT的方程為y=m6(x-3)，點(diǎn)M(x1，y1)滿足

y1=m12(x1+3)，

x219+y215=1，

得

(x1-3)(x1+3)9=-m2122#8226;(x1+3)25

，因?yàn)閤1≠-3，則

x1-39=-m2122#8226;x1+35

，解得x1=240-3m280+m2，從而得y1=40m80+m2.

以下略.

本題巧妙地運(yùn)用因式分解將一元二次方程轉(zhuǎn)換為一元一次方程，這是本題的關(guān)鍵所在！可見技巧的重要性.常規(guī)的技巧還有：韋達(dá)定理的運(yùn)用，三角換元，數(shù)列與不等式放縮，構(gòu)造函數(shù)比較大小等.這需要我們在平時(shí)的教學(xué)中逐漸積累，用起來才得心應(yīng)手.當(dāng)然過分追求技巧是數(shù)學(xué)教育要避免的！技巧性太強(qiáng)往往容易掩蓋問題本身，很多資料給出的試題往往使得“技巧主要化”而問題反而“邊緣化”，是不利于科學(xué)的學(xué)習(xí)的，但常規(guī)的技巧是需要的！

三、 注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用是培養(yǎng)運(yùn)算能力的重要補(bǔ)充

在教學(xué)中，有些問題看似很復(fù)雜，運(yùn)算繁瑣，如果我們換一種方式思考，會有意想不到的驚喜.數(shù)學(xué)中的一些數(shù)學(xué)思想如數(shù)形結(jié)合思想、特殊化思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想等可以幫助我們解決很多運(yùn)算問題，給我們驚喜！

【例3】 （2010江蘇高考11）已知函數(shù)f(x)=x2+1，x≥0，1，x＜0，則滿足不等式f(1-x2)＞f(2x)的x的取值范圍是 .

分析：本題屬難題，如果學(xué)生按照解

不等式的一般方法代入求解，需分四種情況 

①1-x2≥0，2x≥0；

②1-x2≥0，2x＜0；

③1-x2＜0，2x≥0；

④1-x2＜0，2x＜0.

較繁瑣.

但若用數(shù)形結(jié)合求解則簡單多了！如圖： 

由函數(shù)圖象單調(diào)性可知，1-x2＞0，1-x2＞2x，解得-1＜x＜-1+2.

從上例可以看出，數(shù)學(xué)思想方法的巧妙運(yùn)用能簡化運(yùn)算！又如“設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y2=2x與過焦點(diǎn)的直線交與A，B兩點(diǎn)，則OA#8226;OB= .”雖然此題是容易題，但若選擇一般方法，設(shè)AB方程代入拋物線方程求A，B坐標(biāo)，則較繁瑣.若采用特殊化思想，只須取AB⊥x軸這種特殊情況算出結(jié)果-34即可，若是解答題，再去討論一般情況即可.

數(shù)學(xué)運(yùn)算一直是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要課題，除了以上三點(diǎn)之外，在平時(shí)的教學(xué)中還需要不斷加強(qiáng)對錯題的反思，要知道“是什么”“有何用”“如何用”，將所學(xué)知識、技巧、思想方法熟練掌握，提高運(yùn)算能力.經(jīng)歷這個(gè)過程，才能更有效地解決其他運(yùn)算能力，收到化繁為簡，化難為易，事半功倍的效果.同時(shí)，學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的培養(yǎng)也是長久的工程，我們一定要持之以恒，堅(jiān)持不懈！