數(shù)學(xué)化歸的思想方法

數(shù)學(xué)思想方法是人類(lèi)科學(xué)思想方法的重要組成部分，隨著數(shù)學(xué)教育改革的深入以及數(shù)學(xué)在社會(huì)發(fā)展進(jìn)程中的作用日益顯現(xiàn)而更加深入人心.化歸的思想方法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，在數(shù)學(xué)教育中也是一種解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本思想方法.在某種程度上，化歸方法也是數(shù)學(xué)家區(qū)別于其他科學(xué)家的主要特征之一.因此，學(xué)習(xí)并掌握化歸的思想方法對(duì)學(xué)好數(shù)學(xué)具有重要的理論意義和現(xiàn)實(shí)意義.

一、化歸方法的含義、特殊性及基本模式

1．化歸方法的含義

一般的，化歸方法就是將欲求解的問(wèn)題通過(guò)一次或多次變形轉(zhuǎn)化成一個(gè)或若干個(gè)已知的或容易求解的問(wèn)題，在這個(gè)轉(zhuǎn)化過(guò)程中所運(yùn)用的方法就叫做化歸方法.看似一個(gè)簡(jiǎn)單的解釋?zhuān)珜?duì)數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)卻有其特殊的意義.正如匈牙利著名數(shù)學(xué)家Rosza Peter所說(shuō)：“（化歸）對(duì)于數(shù)學(xué)家的思維過(guò)程來(lái)說(shuō)是很典型的，他們往往不對(duì)問(wèn)題進(jìn)行正面的進(jìn)攻，而是不斷地將它變形，直至把它轉(zhuǎn)化為已經(jīng)能夠解決的問(wèn)題.”^［1］

2．?dāng)?shù)學(xué)化歸思想方法的特殊性

Rosza Peter在其名著《無(wú)窮的玩藝》曾經(jīng)舉過(guò)一個(gè)“燒開(kāi)水”的例子^［2］，生動(dòng)地說(shuō)明了化歸思想方法的實(shí)質(zhì).“假設(shè)在你面前有煤氣灶、水龍頭、水壺，要燒開(kāi)水，該怎么做？”相信大多數(shù)人都會(huì)這樣做：往水壺里放滿(mǎn)水，把水壺放上煤氣灶，點(diǎn)火即可.此時(shí)，如果其他條件都沒(méi)變，只是水壺里已經(jīng)放滿(mǎn)了水.要燒開(kāi)水，又該如何做？大多數(shù)人會(huì)毫不猶豫地說(shuō)，直接把水壺放上煤氣灶，點(diǎn)火就可以了.然而，數(shù)學(xué)家不是這樣，他們這樣做：把水倒掉.這樣就把問(wèn)題歸結(jié)為上一個(gè)問(wèn)題.而上個(gè)問(wèn)題已經(jīng)解決了，第二個(gè)問(wèn)題自然就解決了.在這里，數(shù)學(xué)家就用了一個(gè)步驟，即把水倒掉，就解決了第二個(gè)問(wèn)題.雖然有點(diǎn)夸張，但這卻可以看出數(shù)學(xué)思維的特殊性.化歸的思想方法在數(shù)學(xué)中的作用由此可見(jiàn)一斑.

3．化歸方法的一般模式

從化歸方法的含義中不難看出，應(yīng)用化歸方法解決問(wèn)題的一般模式可以表示為下述模型：

說(shuō)明：上圖中，問(wèn)題A到問(wèn)題A′即化歸過(guò)程；而解答A′到解答A則是問(wèn)題的還原過(guò)程.對(duì)照“燒開(kāi)水”的例子，問(wèn)題A是指第二個(gè)問(wèn)題，通過(guò)“把水倒掉”轉(zhuǎn)化（化歸）為問(wèn)題A′（即第一個(gè)問(wèn)題），而第一個(gè)問(wèn)題已經(jīng)得到解決（即解答A′），于是問(wèn)題A的解答就是（“把水倒掉”+“解答A′”）.

如果問(wèn)題的化歸需要通過(guò)多次轉(zhuǎn)化，則化歸方法的模式則可通過(guò)以下模型表述：

說(shuō)明：“問(wèn)題”到“問(wèn)題n”的過(guò)程是化歸過(guò)程，而“解答n”到“解答”的過(guò)程是還原過(guò)程.

綜上所述，化歸方法有以下更一般的模式：

說(shuō)明：上圖中，問(wèn)題A到問(wèn)題集A′即化歸過(guò)程.其中，問(wèn)題A分割與否以及化歸的過(guò)程決定了問(wèn)題集A′的性質(zhì)，可以是單元素集合，即只是另外一個(gè)問(wèn)題；也可以是多元素集合，即把問(wèn)題A分解轉(zhuǎn)化成為多個(gè)子問(wèn)題.解答集A′到解答A則是問(wèn)題的還原過(guò)程，即是把解答集A′中各元素（各個(gè)解答）整合成問(wèn)題A的解答.

眾所周知，法國(guó)著名數(shù)學(xué)家笛卡兒在創(chuàng)立解析幾何時(shí)就運(yùn)用了化歸方法把幾何圖形（點(diǎn)的集合）和代數(shù)方程（實(shí)數(shù)對(duì)的集合）統(tǒng)一起來(lái)，用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題.即有以下過(guò)程：

說(shuō)明：通過(guò)建立坐標(biāo)系，把幾何問(wèn)題化歸為代數(shù)問(wèn)題；解決代數(shù)問(wèn)題后，再把代數(shù)結(jié)論還原為幾何結(jié)論.

二、化歸方法的基本原則及常用方法

（一）化歸原則

從化歸方法的內(nèi)涵出發(fā)，我們不難得出化歸方法的一般原則有以下幾種.

1．簡(jiǎn)單化原則

簡(jiǎn)單化原則是化歸方法的首要原則，即是指把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，把復(fù)雜的形式轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的形式，把高階的降為低階，把高維的降到低維，使其中蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系和空間形式更加具體，從而找到問(wèn)題的解決辦法.

2．特殊化原則

相對(duì)于一般問(wèn)題，解決特殊問(wèn)題比較容易.特殊化就是問(wèn)題中的情境具體化、單一化.通過(guò)對(duì)特殊性質(zhì)進(jìn)行綜合分析，進(jìn)而推廣到一般情形，使問(wèn)題得以解決.一般可以通過(guò)兩種途徑實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的特殊化：一是把問(wèn)題情境理想簡(jiǎn)化（如用具體數(shù)字代替變量）；二是考察問(wèn)題的極端情形.

3．基礎(chǔ)化原則

基礎(chǔ)化原則是指任何化歸過(guò)程都將是由陌生到熟悉，由后學(xué)到前修的過(guò)程.即對(duì)于陌生的問(wèn)題，化歸的過(guò)程是不斷呈現(xiàn)出熟悉的“面孔”，不斷地推向前修知識(shí)和方法的過(guò)程，最終還是運(yùn)用數(shù)學(xué)的基本原理和方法解決問(wèn)題.

（二）化歸中常用的方法

1．變形法

變形法主要包括恒等變形、參數(shù)變異法、構(gòu)造法、多步化歸法.波利亞所說(shuō)的“輔助問(wèn)題”也可以看成是另外一種形式的變形法，即“去設(shè)計(jì)并解出一種合適的輔助問(wèn)題，從而用它求得一條通向一個(gè)表面上看來(lái)很難接近的問(wèn)題的通道，這就是最富有特色的一類(lèi)智力活動(dòng).” 波利亞把“輔助問(wèn)題”作如下分類(lèi)：等價(jià)問(wèn)題、較強(qiáng)或較弱的輔助問(wèn)題及間接的輔助問(wèn)題.^［3］

2．分割法

所謂分割法，就是先把問(wèn)題“化整為零”，然后把分割形成的子問(wèn)題的解重新整合起來(lái)，從而使原有問(wèn)題得以解決.笛卡兒的一段話形象說(shuō)明了分割法的思想：“把你考慮的每一個(gè)問(wèn)題，按照可能和需要，分成若干部分，使它們更易于求解.”^［4］分割的對(duì)象可以是問(wèn)題本身，也可以是問(wèn)題的條件，還可以是問(wèn)題的“補(bǔ)集”.

3．RMI法

即所謂的“關(guān)系（Relation）映射（Mapping）反演（Inversion）方法”（簡(jiǎn)稱(chēng)為RMI法）.RMI法是我國(guó)著名數(shù)學(xué)家徐利治理教授于1983年首先提出的，主要運(yùn)用于兩個(gè)具有明確映射關(guān)系的對(duì)象系統(tǒng).如通過(guò)對(duì)數(shù)計(jì)算求真數(shù)以及解析幾何問(wèn)題的代數(shù)求解方法，都是RMI法的具體事例.我們熟知的幾何三大難題、數(shù)學(xué)理論（如羅矢幾何）的相對(duì)相容性問(wèn)題都可以運(yùn)用RMI法加以解決.因此，RMI法在數(shù)學(xué)中的運(yùn)用相當(dāng)廣泛.

三、化歸方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透及運(yùn)用

（一）在數(shù)學(xué)課堂中滲透與運(yùn)用化歸思想方法

1.深入挖掘和利用教材中蘊(yùn)涵的化歸元素

作為一種思想方法，化歸思維也是前人探索出來(lái)的經(jīng)驗(yàn)積累.但教材是不可能將思想方法的探索發(fā)現(xiàn)過(guò)程完整展現(xiàn)出來(lái)，這些思想方法只能隱藏在數(shù)學(xué)的概念、命題和問(wèn)題中，從而成為教材的靈魂.特別是在九年義務(wù)教育的幾何、代數(shù)教材中，化歸思想方法出現(xiàn)的幾率很高.如有理數(shù)大小的比較通過(guò)絕對(duì)值概念轉(zhuǎn)化為算術(shù)四則運(yùn)算；整式加減通過(guò)合并同類(lèi)項(xiàng)轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的加減.因此，在備課時(shí)，必須把體現(xiàn)知識(shí)和化歸思想方法統(tǒng)一起來(lái).既傳授知識(shí)，也要把知識(shí)轉(zhuǎn)化過(guò)程中體現(xiàn)的化歸思想方法從隱藏狀態(tài)揭露出來(lái)，使學(xué)生接受思想方法論的教育.

2.在課堂教學(xué)過(guò)程中滲透化歸的思想方法

隨著數(shù)學(xué)教育改革的不斷深入，人們對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)也在不斷深化.數(shù)學(xué)大眾化已經(jīng)逐漸為人們所接受.公民的數(shù)學(xué)素質(zhì)越來(lái)越受到重視.掌握數(shù)學(xué)思想方法、形成數(shù)學(xué)能力是提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的根本途徑.課堂教學(xué)是數(shù)學(xué)教育的主陣地.因此，必須加強(qiáng)教學(xué)過(guò)程中對(duì)包括化歸思想方法在內(nèi)的各種數(shù)學(xué)思想方法的滲透.思想方法源于知識(shí)又高于知識(shí).無(wú)論是在知識(shí)發(fā)生階段還是知識(shí)應(yīng)用階段的教學(xué)中，要善于總結(jié)、概括知識(shí)中蘊(yùn)涵的化歸思想方法，不要為了單純傳授知識(shí)而開(kāi)展教學(xué)，必須對(duì)知識(shí)發(fā)生和應(yīng)用過(guò)程進(jìn)行提煉和升華，把知識(shí)背后隱含的思想方法揭示出來(lái)，并使學(xué)生在適當(dāng)訓(xùn)練后得到鞏固.

（二）在解題研究和訓(xùn)練中滲透與運(yùn)用化歸思想方法

當(dāng)前，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)仍然著重于解題訓(xùn)練.遺憾的是，這里的解題幾乎成為“題海戰(zhàn)術(shù)”的代名詞.波利亞主張，與其不斷重復(fù)訓(xùn)練類(lèi)型題，還不如選一道有代表性的題目，和學(xué)生一起挖掘題目的各個(gè)側(cè)面，并且通過(guò)題目的變形，分析各種可能性，使學(xué)生通過(guò)這道題目的剖析，掌握類(lèi)似的各種變換，把解題戰(zhàn)術(shù)上升為解題方法論的高度.因此，必須轉(zhuǎn)變觀念，把學(xué)生從題海中解放出來(lái)，加強(qiáng)解題研究，使學(xué)生在掌握方法的基礎(chǔ)上有的放矢地進(jìn)行解題訓(xùn)練，從而更快地熟悉并掌握化歸的思想方法.

四、化歸方法的哲學(xué)思考

唯物辯證法認(rèn)為，客觀事物是互相聯(lián)系而且發(fā)展變化的，各種矛盾在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化.化歸方法正是建立在這一觀點(diǎn)基礎(chǔ)之上對(duì)事物聯(lián)系和轉(zhuǎn)化的能動(dòng)反映.從哲學(xué)的角度看，化歸方法著眼于揭示事物間的內(nèi)在聯(lián)系，利用或創(chuàng)造條件實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化（即由繁到簡(jiǎn)、由難到易、由一般到特殊）并在轉(zhuǎn)化中使問(wèn)題得到解決，從本質(zhì)上說(shuō)，化歸方法實(shí)際上是轉(zhuǎn)化矛盾的方法.因此，必須抓住問(wèn)題的主要矛盾和矛盾的主要方面，發(fā)現(xiàn)和利用已有條件促進(jìn)矛盾的轉(zhuǎn)化.從這個(gè)角度看，數(shù)學(xué)科學(xué)能夠闡釋哲學(xué)思想，通過(guò)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)能夠更好地理解哲學(xué)原理.

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參考文獻(xiàn)

［1］［2］ Rosza Peter.無(wú)窮的玩藝［M］.南京：南京大學(xué)出版社，1985：84.

［3］［4］鄭毓信.數(shù)學(xué)方法論［M］.南寧：廣西教育出版社，1991.

［5］趙小云，葉立軍.數(shù)學(xué)化歸思維論［M］.北京：科學(xué)出版社，2005.