運用構造法 妙證不等式
2011-12-31 00:00:00蔡勇君
中學教學參考·理科版 2011年12期
不等式的證明歷來是中學數學教學中的難點，又是高考和競賽命題的熱點.這是因為不等式證明問題形式靈活多變，覆蓋知識面廣，既有一定的難度而又較為靈活，沒有固定的模式可循，是培養學生邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力，特別是培養學生創造性思維和創新能力的好題材.高中新課程數學教材中常見的不等式證明方法有：比較法、綜合法、分析法、放縮法、數學歸納法和反證法等.本文主要探討不等式的一種技巧證法——構造法.
構造法是一種重要的化歸方法，滲透著類比、化歸、猜想、歸納等數學思想，對于學好數學，提高解題能力是+分必要且有益的.構造法的內涵+分豐富，運用構造法證明不等式，其基本思想是針對題目的特點，通過構造中介性的輔助元素，溝通不等式的條件與結論的內在聯系，從而得以證明.同常規證法相比較，這種證法顯得思路清晰、構思巧妙、過程簡捷，常使數學解題突破常規，另辟蹊徑.
一、構造恒等式
根據不等式的特征，利用有關代數知識，可構造恒等式作為輔助模型，從而解決問題.
【例1】 已知實數x，y，z，s滿足x+y+z+s=a(a>0)，
求證：x2+y2+z2+s2≥a24.
證明：設x=a4+α，y=a4+β，z=a4+γ，s=a4+δ，顯然α+β+γ+δ=0，則
x2+y2+z2+s2=(a4+α)2+(a4+β)2+(a4+γ)2+(a4+δ)2
=a24+a2(α+β+γ+δ)+(α2+β2+γ2+δ2).
∵α+β+γ+δ=0，α2+β2+γ2+δ2≥0，
∴x2+y2+z2+s2≥a24.
二、構造方程
有些三角不等式的證明問題，可以根據一元二次方程根與系數的關系及根的判別式，結合已知條件及變量間的數量關系，構造出系數含有該變量的一元二次方程，這樣把不等式化歸為方程問題處理.
【例2】 在△ABC中，lgtanA+lgtanC=2lgtanB，求證：π3≤B＜π2.
證明：∵tanB＞0，∴0＜B＜π2，由題設得
tanA#8226;tanC=tan2B，并因A+B+C=π，
∴tanA+tanC=（1－tanAtanC）tan（A+C）
=（1－tan2B）（－tanB）.
構造以tanA、tanC為根的一元二次方程
x2－（1－tan2B）（－tanB）x+tan2B=0，
因為x為實數，所以Δ=〔－（1－tan2B）（－tanB）〕2－4tan2B≥0，解之，可得證明.
三、構造幾何圖形
數形結合是中學數學中的一個重要的數學思想，如果要求證的不等式有明顯的幾何意義，或根據題設條件及數量關系的特點可與幾何圖形建立聯系，則可構造幾何圖形.
【例3】 已知：銳角α，β，γ滿足條件cos2α+cos2β+cos2γ=1，
求證：cotαcotβcotγ≤24.
證明：由已知條件中的數量關系，聯想到構造一個長方體，如圖，使其對角線與交于一點的三條棱的夾角分別為α、β、γ，
設長方體的棱長分別為a、b、c，則
cotαcotβcotγ
=ab2+c2#8226;b a2+c2#8226;ca2+b2
≤abc22abc=24，
上式當a=b=c時，即α=β=γ=arccos33時取等號.
四、構造函數
由于函數的單調性，有界性和凹凸性等與不等式有自然的聯系，這就使我們有可能根據題設條件及要求證的不等式的構成特點，構造一個函數，然后利用函數的圖象和性質，使原不等式獲證.
【例4】 求證：|a+b|1+|a+b|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|.
證明：根據不等式各項的同一形式，構造函數f（x）=x1+x（x≥0），
考察其單調性，設0≤x1＜x2，
∵f（x2）－f（x1）=x21+x2－x11+x1=x2-x1(1+x2)(1+x1)＞0，
∴f（x2）＞f（x1）.∴f（x）在定義域［0，+∞)上是增函數，
不妨取x1=|a+b|，x2=|a|＋|b|，由不等式的性質|a+b|≤|a|＋|b|，
顯然0≤x1≤x2，∴f(|a+b|)≤f(|a|＋|b|)，即
|a+b|1+|a+b|≤|a|+|b|1+|a|+|b|=|a|1+|a|+|b|＋|b|1+|a|+|b|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|.
新課程中引入了微積分，運用微積分的思想方法，構造函數證明不等式，顯得方法獨特，過程簡潔.
【例5】 已知：i、m、n是正整數，且1＜i≤m＜n，
證明：（1+m）n＞（1+n）m.
證明：∵1＜i≤m＜n，且i、m、n是正整數，∴2≤m＜n，
構造輔助函數F（x）=ln(1+x)x（x≥2），則其導函數
F′（x）=x1+x-ln(1+x)x2
.
事實上，x1+x＜ln（1+x）＜x（x＞－1），下證x1+x＜ln（1+x）（x＞0）.
設f（x）=ln（1+x）－x1+x，則
f′（x）=11+x－1(1+x)2 =x(1+x)2 ＞0.
∵x＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函數.
從而F′（x）＜0，故F（x）是單調減函數，
∴當2≤m＜n時，有ln(1+m)m＞ln(1+n)n，∴ nln（1+m）＞mln（1+n），
即（1+m）n＞（1+n）m.
五、構造復數
當求證的不等式中出現平方和的算術平方根的形式的時候，很容易聯想到復數a+bi的模為a2+b2，從而可以通過巧妙地構造復數轉化成模，并利用
||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|（z1，z2∈C）來證明不等式，就會使問題變得簡單明了.
【例6】 設a、b、c∈R，求證：
a2+b2＋b2+c2＋c2+a2≥2（a+b+c）.
證明：構造復數z1=a+bi，z2=b+ci，z3=c+ai，則|z1|=a2+b2，|z2|=b2+c2，|z3|=c2+a2，
∴|z1+z2+z3|=|(a+b+c)+(b+c+a)i|
=2|a+b+c|≥2（a+b+c）.
但|z1|＋|z2|＋|z3|≥|z1+z2+z3|，
∴a2+b2＋b2+c2＋c2+a2≥2（a+b+c）.
六、構造數列
要證明一個關于自然數n的不等式f（n）≥g（n），可以構造一個數列｛xn｝，使xn=f（n）－g（n）或xn=f（n）/g（n），然后設法證明｛xn｝是單調數列并進而說明xn≥0（或1，且f（n），g（n）均為正值），最終得出要證的不等式，此法簡明，規范.
【例7】 求證：Σnk=11k＞（n∈N，且n≥2）.
證明：構造數列｛xn｝，這里xn=Σnk=11k－n，則
xn+1－xn=1n+1+n-n+1=1n+1-1n+n+1
=nn+1(n+n+1)＞0，
∴xn+1＞xn.即｛xn｝是單調遞增數列，從而xn-1＞xn-2＞…＞x3＞x2.
但x2=（1＋12）－2=1－22＞0.∴xn＞0.
即xn=Σnk=11k＞n.
以上討論了不等式證明中的幾種構造性方法，運用構造法證明不等式，其實質是把要證的不等式轉化為某種新的關系和形式，以便能使問題按新的角度去認識和處理，從而迅速找到證明的途徑.當然，構造的過程是較抽象的思維的過程，除對題目本身的特點進行分析外，還要善于聯想，具有良好的發散性思維能力.總之，構造法是創造性思維的一種體現.
參考文獻
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