兩道高考題的推廣及證明

研究高考題并將高考題推廣，可以更加深入地分析考題的內涵，改變試題的條件，探究其具有哪些不變的性質，揭示其本質的規律，對進一步提高學生的分析問題和解決問題的能力起到積極的作用，同時也是培養學生創造性思維的主要陣地.本文就2010年高考中解析幾何的兩道高考題做如下的推廣與證明：

第一題：江蘇2010高考第18題:

在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓x29+y25=1

的左右頂點分別為A、B，設過點T（t，m）的直線TA、TB與橢圓分別交于點M(x1，y1)，N(x2，y2)，設t=9，求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標與m無關）.

解:由題設知直線AT的方程為y=m12(x+3)， 直線BT的方程為y=m6(x-3).

由y=m12(x+3)，x29+y25=1得:M(240-3m280+m2，40m80+m2)；

由y=m6(x-3)，

x29+y25＝1

得:N(3m2-6020+m2，-20m20+m2).

若x1=x2，則由240-3m280+m2=3m2-6020+m2

得m2=40，此時直線MN方程為x=1，過定點(1，0).

若x1≠x2，則m2≠40，此時直線MN方程為:y=-10mm2-40(x-1)， 過定點(1，0).

∴直線MN必過x軸上的一定點(1，0).

【推廣1】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)

左右頂點為A1，A2，，設過點T（t，m）(t≠0)的直線TA1，TA2與橢圓分別交于點M(x1，y1)，N(x2，y2)，若t為常數， 則直線MN必過定點（a2t，0）.

證明:設M(acosα，bsinα)， N(acosβ，bsinβ)，直線 TA1的方程為:y=bsinα2

acosα2

(x+a)，



直線TA2的方程為:y=-bcosβ2

asinβ2(x-a)

，

直線MN的方程為:yasinα+β2+

xbcosα+β2-

abcosα-β2=0.



由于直線 TA1、TA2過點T（t，m），∴m=bsinα2acosα2(t+a)

，m=-bcosβ2asinβ2(t-a)，

消去m得cosα-β2=atcosα+β2

，代入MN方程得

yasinα+β2+bcosα+β2(x-a2t)=0.



所以直線MN必過定點（a2t，0）.

同理我們可以得到以下兩個推廣：

【推廣2】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓x2a2+y2b2=1

(a>b>0)的上下頂點為B1，B2，設過點T（m，t）(t≠0)的直線TB1，TB2與橢圓分別交于點M(x1，y1)，N(x2，y2)，若t為常數， 則直線MN必過定點（0，b2t）.

【推廣3】在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0，b>0）的左右頂點為A1，A2，設過點T（t，m）(t≠0)的直線TA1，TA2與雙曲線分別交于點M(x1，y1)，N(x2，y2)，若t為常數， 則直線MN必過定點（a2t，0）.

注:推廣2、推廣3的證明仿照推廣1的證明即可證得 (證明略).

第二題：2010年全國卷（必修+選修Ⅱ）第21題:

已知拋物線C: y2=4x的焦點為F，過點K（-1，0）的直線與C相交于A、B兩點，點A關于x軸的對稱點為D，證明：點F在直線BD上.

證明：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x1，-y1)(x1≠x2，y1≠y2).

∵直線AB過點K（-1，0），則y1x1+1=y2x2+1

得: y1y2=4.

又∵拋物線C:y2=4x的焦點為F（1，0），

∴BF的斜率為y2x2-1=y2y224-1=

y2y22y1y2-1=

4y2-y1，

DF

的斜率為-y1x1-1=

-y1y214-1=

-y1y21y1y2-1=

4y2-y1.



∴點F在直線BD上，證畢.

【推廣1】在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線C:y2=2px，過定點K(m，0)(m≠0) 的直線與拋物線C相交于A、B兩點， 點A關于x軸的對稱點為D，則直線BD過定點(－m，0).

(注:推廣1的證明仿照試題證明即可證得，證明略)

【推廣2】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C:x2a2+y2b2=1

(a>b>0)，過定點K(m，0) (m≠0) 的直線與橢圓C相交于A、B兩點， 點A關于x軸的對稱點為D，則直線BD過定點(a2m，0).

證明：設A(acosα，bsinα)，B(acosβ，bsinβ)，D(acosα，-bsinα)，

∵直線AB過點K(m，0)，∴bsinαacosα-m=bsinβacosβ-m，

化簡得:cosα-β2=macosα+β2.



又∵直線BD方程為:y+bsinα=bsinβ+bsinαacosβ-acosα(x-acosα)，



化簡得:bxcosβ-α2+aysinβ-α2-abcosα+β2=0，



即b(mxa-a)

cosα+β2+aysinβ-α2=0

過定點(a2m，0).

∴直線BD過定點(a2m，0)，證畢.

【推廣3】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C:x2a2+y2b2=1

(a>b>0)，過定點K(0，m)

(m≠0) 的直線與橢圓C相交于A、B兩點， 點A關于y軸的對稱點為D，則直線BD過定點

(0，b2m ).

【推廣4】在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)， 過定點K(m，0) (m≠0) 的直線與雙曲線C相交于A、B兩點， 點A關于x軸的對稱點為D，則直線BD過定點(a2m，0).

【推廣5】在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)， 過定點K(0，m) (m≠0) 的直線與雙曲線C相交于A、B兩點， 點A關于y軸的對稱點為D，則直線BD過定點(0， －b2m).

(注:推廣3、推廣4、推廣5的證明仿照推廣2證明即可證得，證明略)

解析幾何中圓錐曲線的性質是今年來的熱點問題，通過對考題的推廣與研究，進一步提高數學的解題能力和解題智慧，從中有所啟示，有所收獲.