偶然中蘊含必然
2011-12-31 00:00:00王文濤
中學教學參考·理科版 2011年12期
我們知道一般情況下變力做功不可以直接用變力的頭尾平均值乘以位移得到功，但在學生練習中卻出現了新的問題。原題如下：
如圖所示，在方向豎直向上的磁感應強度為B的勻強磁場中有兩條光滑固定的平行金屬導軌MN、PQ，導軌足夠長，間距為L，其電阻不計，導軌平面與磁場垂直。ab、cd為兩根垂直于導軌水平放置的金屬棒，其接入回路中的電阻分別為R，質量分別為m。與金屬導軌平行的水平細線一端固定，另一端與cd棒的中點連接，細線能承受的最大拉力為T，一開始細線處于伸直狀態，ab棒在平行導軌的水平拉力F的作用下以加速度a向右做勻加速直線運動，兩根金屬棒運動時始終與導軌接觸良好且與導軌相垂直。
(1)求經多長時間細線被拉斷?
(2)若在細線被拉斷瞬間撤去拉力F，求兩根金屬棒之間距離增量Δx的最大值是多少?
原題解答如下：
(1)ab棒以加速度a向右運動時，當細線斷時，ab棒運動的速度為v，產生的感應電動勢
E＝BLv ①
回路中的感應電流
I＝E/2R ②
cd棒受到的安培力
F＝BIL ③
經t時細線被拉斷，得
F＝T ④
v＝at ⑤
由①②③④⑤式得
t=2RTB2L2a ⑥
(2)細線斷后，ab棒做減速運動，cd棒做加速運動，兩棒之間的距離增大，當兩棒達共同速度u而穩定運動時，兩棒之間的距離增量Δx達到最大值，整個過程回路中磁通量的變化量
ΔΦ＝BLΔx ⑦
由動量守恒定律得
mv＝2mu ⑧
回路中感應電動勢的平均值
E1＝ΔΦ/Δt ⑨
回路中電流的平均值
I＝E1/2R ⑩
對于cd棒，由動量定理得
BILΔt＝mu B11
由⑤⑥⑦⑧⑨⑩B11式得
Δx=2mR2TB4L4 B12
但學生在解題中對于（2）問也有如下的解法：
細線斷后，ab棒做減速運動，cd棒做加速運動，兩棒之間的距離增大，當兩棒達共同速度u而穩定運動時，兩棒之間的距離增量Δx達到最大值。
由動量守恒定律得：
mv＝2mu，
由能量守恒可得：
12mv2＝12#8226;2mu2+E電，
而電能等于導體桿克服安培力做的功，而導體桿的安培力發生變化，開始時F0=B2L2v2R
，最后為0，可取平均值得：
E電=F02Δx，
由此解得Δx=2mR2TB4L4。
計算結果與參考答案恰好一樣。那么，這樣的解法是否正確呢？我們知道在此后的運動過程中，安培力隨時間并不是定值，也不隨時間均勻變化，一般來說在教學中也反復強調變力做功不可用平均作用力來求解，那為什么用平均作用力求解也得到正確的結果呢？是偶然還是必然呢？我們來做進一步的研究。
一般力所做的功可以表示為F-s圖中圖線與s軸所圍的面積。如果F與s的關系比較復雜，求解面積較為困難，但如果變力與位移的滿足線性關系，面積求解就比較簡單。
如彈簧彈力做功為例：W=0+kx02#8226;x0=12kx20
，其中0+kx02為變力的頭尾平均值，x0為位移。既然此題用平均力計算也是正確的，那么，可以猜測是否此題中的安培力與兩桿之間的距離Δx也滿足線性關系。
來具體求解一下：
設到某狀態時cd棒的速度為v1，ab棒的速度為v2。
電路中的電動勢為：E=BL(v2- v1)，
電路中的電流為：I=E2R，
導體棒所受的安培力為：F=BIL，
解得F=B2L2(v2-v1)2R。
由牛頓第二定律可得：
對于cd棒有：mdv1dt=F，
對于ab棒有：mdv2dt=-F，
由上式可得：d(v2-v1)dt=-B2L2(v2-v1)Rm，
分離變量積分可得：ln(v2-v1)=-B2L2mRt+C。
由初始條件t=0，v1=0，v2=v可得：
v2-v1=ve-B2L2tmR，
距離增加值Δx滿足d(Δx)dt=v2-v1，
將上式代入并積分可得：Δx=-mRvB2L2e-B2L2tmR+C1。
由初始條件t=0，Δx =0可得：
Δx=-mRvB2L2e-B2L2tmR+mRvB2L2
（*）
而F=B2L2(v2-v1)2R=B2L22Rve-B2L2tmR
（**）
由（*）（**）式消去t可得：
F=-B4L42mR2Δx+B2L2v2R
（※）
當F=0時，Δx有極大值：Δx=mRvB2L2=2mR2TB4L4。
由（※）式可知F與Δx確實呈線性關系，因此可以用平均力求解。由此例可以得出結論：變力做功也可以直接用變力的頭尾平均值乘以位移得到功即W=F初+F末2#8226;s
，但前提條件是變力與位移必須呈線性關系。
