奇偶函數(shù)性質(zhì)的推廣

在高中代數(shù)中，關(guān)于奇、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性，有如下定理：奇數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形，偶函數(shù)圖象關(guān)于軸成軸對(duì)稱(chēng)圖形.

本文力求從上述定理中探究一般函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，對(duì)一般函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行歸納總結(jié)，并對(duì)奇、偶函數(shù)圖象性質(zhì)的進(jìn)行推廣應(yīng)用，使學(xué)生對(duì)函數(shù)圖象性質(zhì)有更加整體的理解，應(yīng)用更加融會(huì)貫通.

一、定理及其推論

【定理1】 函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(x0，y0)成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充分必要條件是對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任一個(gè)數(shù)，下列都成立：

f(x0-x)+f(x0+x)=2y0.

證明：現(xiàn)僅證明必要性，充分性可反推回來(lái)證明即可.

設(shè)點(diǎn)(x1，f(x1))和(x′，f(x′)）是函數(shù)y=f(x)的圖象上關(guān)于點(diǎn)(x0，y0)對(duì)稱(chēng)的任意兩點(diǎn)，則

x1+x′=2x0，f(x1)+f(x′)=2y0，

亦即x′=2x0-x1，f(x′)=2y0-f(x1).

令x1=x+x0，則有

x′=x0-x，f(x′)=2y0-f(x0+x)，

故有f(x0-x)+f(x0+x)=2y0.

【推論1】 函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充分且必要條件是對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任何一個(gè)數(shù)x，f(-x)=-f(x)都成立.

【定理2】 函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線l：(x-x0)sinα=(y-y0)cosα為對(duì)稱(chēng)軸的充分且必要條件是對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任何一個(gè)數(shù)x，下式都成立

f(M)=N，

其中M=x f(x)cos2α sin2α-2x0 y0cosα sinαsinα

；=xcos2α+f(x)sin2α+2x0sin2α-y0sin2α

N=x f(x)cos2α sin2α-2x0 y0cosα sinαcosα

=xsin2α-f(x)cos2α-2x0sin2α+y0cos2α.



證明：下面亦只證明必要性，充分性可反推回來(lái)證明即可.

設(shè)(x，f(x))與(x′，f(x′))為關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)的函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)，則

(x+x′2-x0)=(f(x)+f(x′)2-y0)cosα，

(x′-x)cosα=-(f(x′)-f(x))sinα.



解上面關(guān)于x′，f(x′)的二元方程組，得

x′=xcos2α+f(x)sin2α+2x0sin2α-y0sin2α=M

f(x′）=xsin2α-f(x)cos2α-2x0sin2α+y0cos2α=N，

亦即f(M)=N.

【推論2】 函數(shù)y=f(x)圖象關(guān)于直線x=α成軸對(duì)稱(chēng)圖形的充分且必要條件是對(duì)函數(shù)定義域任意一個(gè)數(shù)x，f(α-x)=f(α+x)都成立.

【推論3】 函數(shù)y=f(x)圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱(chēng)圖形的充分且必要條件是對(duì)函數(shù)定義域任意一個(gè)數(shù)x，f(-x)=f(x)都成立.

【推論4】 函數(shù)y=f(x)圖象關(guān)于直線y=x成軸對(duì)稱(chēng)圖形的充分且必要條件是對(duì)函數(shù)定義域任意一個(gè)數(shù)x，f(f(x))=x都成立.

二、應(yīng)用

例1 給定實(shí)數(shù)α，α≠0，α≠1，設(shè)函數(shù)y=x-1αx-1(x∈R，且x≠1α).證明：這個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y=x成軸對(duì)稱(chēng)圖形.

證明：對(duì)任意不等于1α的實(shí)數(shù)x，因?yàn)閒(x)）=x-1αx-1，所以f(f(x))=f(x)-1αf(x)-1=

x-1αx-1-1

α#8226;x-1αx-1-1=1.



根據(jù)推論4，所以f(x)的圖象關(guān)于y=x成軸對(duì)稱(chēng)圖形.

例2 函數(shù)f(x)=x2+bx+c對(duì)任意實(shí)數(shù)t都有f(2-t)=f(2+t)，那么 （ ）.

A.f(2)＜f(1)＜f(4) B.f(1)＜f(2)＜f(4)

C.f(2)＜f(4)＜f(1)D.f(4)＜f(2)＜f(1)

解析：根據(jù)推論2，函數(shù)f(x)=x2+bx+c的圖象以x=2為對(duì)稱(chēng)軸，其開(kāi)口向上，故此函數(shù)在［2，+∞)上是增函數(shù)，所以有下式成立：

f(2)＜f(3)＜f(4).

∵f(2-t)=f(2+t)，

∴f(1)=f(3).

故選項(xiàng)A正確.