妙用數形結合思想解題

數學思想本身是一個抽象的概念，但數學思想中的數形結合思想卻是化抽象為具體！在學生的學習與應用中它最容易具體化，是學生比較容易掌握的學習方法與思想之一.

一、利用數形結合解決幾何問題

【例1】 過定點A（-2，-1），傾斜角為45°的直線與拋物線y=ax2交于B、C，且|BC|是|AB|，|AC|的等比中項，求拋物線方程.

分析：此題在開始構思上可能想，將直線方程與拋物線方程聯立，解出B、C兩點坐標，再代入條件求解方程，那么計算過于復雜！所以獨辟蹊徑，用圖形來輔助問題的解決，很簡單，很省時間.

圖1

解：設B(x1，y1)，C(x2，y2)，

則|AB|=2|AB1|=2(x1+2) ，

|AC|=2|AC1|= 2(x2+2)，

|BC|=2|B1C1|=2|x2-x1|

由|BC|2=|AC||AB|得：

|x2-x1|2=(x1+2)(x2+2)………①

由題意知直線方程為y=x+1，

y=x+1，y=ax2ax2-x-1=0.



將x1+x2=1a，x1x2=-1a代入①式，

變形得|x2+x1|2-4x1x2= x1x2+2(x2+x1)+4，

(1a) 2+4a = -1a+ 2a+4，

由4a2-3a-1=0得a=1或1/4.

經檢驗，當a=1/4時，直線與拋物線僅有一交點，故舍去.

綜上，a=1，此時拋物線方程為y=x2.

二、利用數形結合解決線性規劃問題

【例2】 設實數a，b滿足3a-2b+1≥0，3a+2b-4≥0a≤1，，求9a2+4b2的最大值.

分析：這題看似是典型的線性規劃問題，將a看成x，b看成y，但如若按照這樣的線性規劃來做，就把線性規劃的本質漏掉了，線性規劃一定要知道，目標函數的幾何意義!這題目標函數的真正意義是圓，應將3a看成x，2b看成y.

解：令3a=x， 2b=y，

可行域轉換為x-y+1≥0，x+y-4≥0，x≤3，

OA=32+42=25.

所以，9a2+4b2的最大值為25.

三、利用數形結合解決函數問題

【例3】 設f(x)是定義在區間(-∞，+∞)上以2為周期的函數，對于k∈Z，用Ik表示區間(2k-1，2k+1］，已知當x∈I0時，f(x)=x2．

（1）求f(x)在Ik上的解析表達式；

（2）對自然數k，求集合Mk=｛a|使方程f（x）=ax在Ik上有兩個不相等實根｝．

分析：（1）由題意，f(x)=(x-2k)2(x∈Ik)，在（2）中代數解法需解方程(x-2k)2=ax，即方程g(x)=x2-(4k+a)x+4k2=0.

在區間(2k-1，2k+1］內有兩個不相等的實根，其充要條件是

Δ=(4k+a)2-16k2＞0，2k-1＜4k+a2≤2k+1，

g(2k-1)＞0，g(2k+1)≥0.



由這個不等式組解得k的取值范圍是0＜a≤12k+1.這樣解就失去了數學的神韻，數學是把復雜的問題變簡單.

解：用數形結合思想則比較直觀.由圖3中，立即可得，a的取值范圍為0＜a≤12k+1.

華羅庚先生說過:“數與形本是兩依倚，焉能分作兩邊飛. 數缺形時少直觀， 形少數時難入微.”，“切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系，切莫分離.”！通過上面的例題分析也可以發現，圖像在解題中的運用，可以有效地提高學生分析問題的能力及數學思維水平，并希望將學生培養成綜合型、創新型人才.