太陽與行星間引力公式的另一推導過程

普通高中課程標準實驗教科書物理必修2（人民教育出版社出版）第六章第2節《太陽與行星間的引力》中推導太陽與行星間引力的過程，很多學生對此搞不清楚。筆者認為，教科書上根據太陽對不同行星的引力F∝mr2，行星對太陽的引力F′∝Mr2，推導太陽與行星間的引力為F∝Mmr2過于牽強附會，不符合學生的認知規律，學生不易接受，本文采用新方法進行了推導，學生容易掌握，效果較好。

一、太陽對行星的引力

根據開普勒行星運動定律，行星繞太陽的運動可以簡化為勻速圓周運動。太陽對行星的引力，就等于行星做勻速圓周運動的向心力。

設行星質量為m，速度為v，行星到太陽的距離為r，則行星繞太陽做勻速圓周運動的向心力為

F=mv2r，

天文觀測難以直接得到行星運動的速度v，但是可以得到行星公轉的周期T，它們之間的關系為：

v=2πrT，

把這個結果代入上面向心力的表達式，整理后得到

F=4π2mrT2。

不同行星的公轉周期T是不同的，F跟r關系的表達式不應出現周期T，所以要設法消去式中的T。為此，把開普勒第三定律r3T2＝R變形為T2=r3k，代入上式便得到：

F=4π2k#8226;mr2。

這表明：太陽對不同行星的引力，與行星的質量成正比，與行星和太陽間距離的二次方成反比。

二、行星對太陽的引力

就太陽對行星的引力來說，行星是受力星體。因此可以說，上述引力F是與受力星體的質量成正比。

然而，從太陽與行星間相互作用的角度來看，兩者的地位是相同的。也就是說，既然太陽吸引行星，行星也必然吸引太陽。就行星對太陽的引力F′來說，太陽是受力星體。因此，F′的大小應該與太陽的質量M成正比，與行星、太陽距離的二次方成反比。也就是

F′=4π2k′#8226;Mr2。

三、太陽與行星間的引力

根據牛頓第三定律：太陽對行星的引力F與行星對太陽的引力F′大小相等，

所以F=F′，

化簡得F=GMmr2（式中G是比例系數，與太陽、行星都沒有關系）。

這表明：太陽與行星間的引力大小與太陽、行星的質量乘積成正比，與兩者距離的二次方成反比。

小結：本節課是我剛講過的一節課，在講這部分內容時，我按照教材上的思路：

F∝mr2F′∝Mr2F∝Gmr2F=GMmr2

組織教學，但是很多學生對F∝mr2F′∝Mr2F∝Gmr2感到迷惘和困惑，難以理

解。通過與學生反復溝通和討論修改最終得到這個新的推導方法，在后面的教學中我把這個方法講給學生聽，學生普遍認為此法簡單、易理解，為此我將此法稍加整理，與大家分享。

(責任編輯 黃春香）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文